平方
| 平方 | |
|---|---|
| 术语名称 | 平方 |
| 英语名称 | square |
| 别名 | 二次方 |
| 平方函数 | |
|---|---|
| 术语名称 | 平方函数 |
| 英语名称 | square function |
| 别名 | squaring function |
平方(square)/二次方是一个一元运算，指一个数或其他数学对象与自身相乘。是指数被固定为 2 的乘方运算。
自然数上的平方，可以随着自然数到其他数系的构造被直接延拓。 本条目限制在实数范围。对其他更复杂数系，以及其他数以外的数学对象的加法，参考各自的条目。
描述
| 平方 | |
|---|---|
| 运算名称 | 平方 |
| 运算符号 | [math]\displaystyle{ \bullet^2 }[/math] |
| Latex | ^2
|
| 运算对象 | 数 |
| 运算元数 | 1 |
| 运算结果 | 数
|
表达一个数自乘的运算称为平方(square)。 类似乘方，其中，被自乘的数称为底数(base)或简称底，指示自乘次数的数 2 被称为指数(exponent)。 数 [math]\displaystyle{ a }[/math] 作为底数的平方记作 [math]\displaystyle{ a^2 }[/math] ，读作 [math]\displaystyle{ a }[/math] 的平方( [math]\displaystyle{ a }[/math] squared)，简称 [math]\displaystyle{ a }[/math] 方。
| 平方 | |
|---|---|
| 函数名称 | 平方函数 |
| 函数符号 | [math]\displaystyle{ \bullet^2 }[/math] |
| Latex | ^2
|
| 类型 | |
| 定义域 | [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] |
| 陪域 | [math]\displaystyle{ [0,+\infty) }[/math] |
平方运算对应的函数 [math]\displaystyle{ f(x) = x^2 }[/math] 也称为平方函数(square function, squaring function)。
定义
运算定义
对自然数 [math]\displaystyle{ a }[/math] ，对其进行 2 个自身间的乘法运算（超-2 运算），得到的结果 [math]\displaystyle{ a \cdot a }[/math] 简记作 [math]\displaystyle{ a ^ 2 }[/math] ，称为自然数的平方(square)。 对其他数系，类似的形式也称为其平方。
性质
自然数的平方称为完全平方数，见对应词条。
其图像是一条抛物线，在 0 处取得最小值 0 。在最小值点两侧分别严格单调递减和严格单调递增。
是凸函数。
| 特殊指对幂函数 | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 运算 | 位置 | -1 | 0 | 1 | 2 | e | 3 | 10 |
| 乘方 | 指数 （幂函数） |
倒数函数 | 0 处无定义 的常函数 |
恒等函数 | 平方 | e 次方 | 立方 | 10 次方 |
| 底数 （指数函数） |
奇偶性/ 符号 |
部分定义 的常函数 |
常函数 | 2 的幂 | 自然指数 | 3 的幂 | 10 的幂 | |
| 开方 | 根指数 | 倒数函数 | 0 处无定义 的常函数 |
恒等函数 | 开平方 | - | 开立方 | - |
| 对数 | 底数 （对数函数） |
- | - | - | 以 2 为底 的对数 |
自然对数 | 以 3 为底 的对数 |
常用对数 |
琐事
名称
需要说明的是，名词“平方”是 square ，动词“把什么平方”也是 square ，但形容词一般用“二次的”(quadratic)，只有表示“被平方的”时候才用 squared 。这里 quadratic 是和一次/线性的 linear 同等地位的。从词源上来讲， quadratic 确实含有 quad- 这个拉丁语和 4 相关的前缀，是因为其来自正方形 quadratum ，而这个词中的 quad- 是指正方形有 4 条边[1]。