环图

环图
术语名称	环图
英语名称	cycle graph
别名	循环图

环图(cycle graph)是一种展示群结构的图表，将有限群中全体元素在涉及的循环（嵌入的循环群）中展示出来，从而抽象地刻画出群的结构。 从环图中可以比较容易地发现元素个数较少的群的一些性质。

环图中的“环”是循环(cycle)。也翻译成循环图，但是避免和图论中的循环图混淆，不使用。。

有时元素可能出现在多个循环上，此时环图可能需要上色区分不同的环以免引起误解。

描述

环图是用于描述群的图表，图表内容是一张无向图。对群 [math]\displaystyle{ G }[/math] ，其环图 [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] 满足：

• 顶点集就是群所在的集合。
• 环图的边集由多个环组成，每个环代表群中一个元素生成的循环子群。
• 每个顶点至少被一个环经过。
• 若一个元素生成子群的元素不是另一个元素生成子群的子集，称其是一个极大生成子群，这样的环所经过的顶点不会是另一个环的子集，称其为本原环(primitive cycle)。边集中只含有本原环。

特别地，在这个元素为 2 阶时，生成的循环子群对应于同一条无向边上的往返，此时不是一般意义上的环，仅仅是一条边。

性质

• 不唯一性
  • 环图不仅取决于群本身，还一定程度上取决于元素的选取。比如部分元素所在循环子群的生成元可以有多种选择，与其他结构一起构成图时会影响结构。
  • 不同的群可能存在图结构相同但元素顺序有排列差异的情况，比如结构中有一个循环群替换为改变了生成元的循环群。
  • （其他结构不变，一个循环子群仅与其他结构不相交的位置被重新排列，比如其他结构相同时，一个 8 阶子群选择 [math]\displaystyle{ x }[/math] 和 [math]\displaystyle{ x^3 }[/math] 生成，会产生不同的图）
• 特殊群的环图
  • 循环群的环图是一个环。
  • 质数阶群的直积是不相交的这一质数长度的环。
  • 二面体群是正面元素构成的大环和反面这些二阶元产生的边。

模板:群