Bézout 定理

裴蜀定理
术语名称	裴蜀定理
英语名称	Bézout's identity
别名	Bézout's lemma, 裴蜀恒等式

裴蜀定理(Bézout's identity)指对两个整数，存在一个整系数组合等于第三个数当且仅当第三个数是前两个数最大公因数的倍数。

定理

对整数 [math]\displaystyle{ a, b }[/math] ，记 [math]\displaystyle{ d = \operatorname{gcd}(a, b) }[/math] 则 [math]\displaystyle{ (\exists u, v \in \mathbb{Z})(ua + vb = d) }[/math] 。

推论

对整数 [math]\displaystyle{ a, b }[/math] ，记 [math]\displaystyle{ d = \operatorname{gcd}(a, b) }[/math] ，则对任意 [math]\displaystyle{ n\in\mathbb{Z} }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ (\exists u, v \in \mathbb{Z})(ua + vb = n) \leftrightarrow d \mid n }[/math] 。

对整数 [math]\displaystyle{ a, b }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ 1 = \operatorname{gcd}(a, b) }[/math] ，当且仅当 [math]\displaystyle{ (\exists u, v \in \mathbb{Z})(ua + vb = 1) }[/math] 。且此时对任意整数存在整系数线性组合表出。

整除理论
整除关系	整除、倍数、因数	带余除法
正整数的分类	1、质数、合数
	质数测试	试除法、埃氏筛、线性筛
最大公约数理论	公倍数、最小公倍数 [math]\displaystyle{ \operatorname{lcm} }[/math]、公因数、最大公因数 [math]\displaystyle{ \operatorname{gcd} }[/math]	辗转相除法
	互质
算术基本定理	算术基本定理	标准质因数分解