Bézout 定理
| 裴蜀定理 | |
|---|---|
| 术语名称 | 裴蜀定理 |
| 英语名称 | Bézout's identity |
| 别名 | Bézout's lemma, 裴蜀恒等式 |
Bézout 定理/Bézout 恒等式(Bézout's identity)指对任意两个整数，任意整数是这两个数的整系数线性组合当且仅当这个数是这两个数最大公因数的倍数。对最大公因数，这个组合中的系数称为 Bézout 系数(Bézout coefficients)。
定理
对整数 [math]\displaystyle{ a, b }[/math] ，记 [math]\displaystyle{ d = \operatorname{gcd}(a, b) }[/math] 则 [math]\displaystyle{ (\exists u, v \in \mathbb{Z})(ua + vb = d) }[/math] ，其中整数 [math]\displaystyle{ u,v }[/math] 称为整数 [math]\displaystyle{ a,b }[/math] 的 Bézout 系数(Bézout coefficients)。进一步地，可以表达为 [math]\displaystyle{ sa+tb }[/math] 的全部整数恰好就是 [math]\displaystyle{ d }[/math] 的全部倍数。
注：有的材料中，特别是不接受涉及 0 的最大公因数的理论体系中，会要求 [math]\displaystyle{ ab\neq 0 }[/math] ，但在接受 0 且 [math]\displaystyle{ \operatorname{gcd}(0,0)=0 }[/math] 的体系中此定理对 0 也成立，不需要对 0 做任何特殊处理。
推论
对整数 [math]\displaystyle{ a, b }[/math] ，记 [math]\displaystyle{ d = \operatorname{gcd}(a, b) }[/math] ，则对任意 [math]\displaystyle{ n\in\mathbb{Z} }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ (\exists u, v \in \mathbb{Z})(ua + vb = n) \leftrightarrow d \mid n }[/math] 。也可以简略表达为 [math]\displaystyle{ a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}=d\mathbb{Z} }[/math] ，其中符号 [math]\displaystyle{ a\mathbb{Z},b\mathbb{Z},d\mathbb{Z} }[/math] 是陪集记号，符号 [math]\displaystyle{ + }[/math] 是集合的 Minkowski 和。
对整数 [math]\displaystyle{ a, b }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ 1 = \operatorname{gcd}(a, b) }[/math] ，当且仅当 [math]\displaystyle{ (\exists u, v \in \mathbb{Z})(ua + vb = 1) }[/math] 。且此时任意整数 [math]\displaystyle{ n }[/math] 都可以被 [math]\displaystyle{ a,b }[/math] 的整系数线性组合表出，即 [math]\displaystyle{ (\forall n\in\mathbb{Z})(\exists u',v'\in\mathbb{Z})(u'a+v'b=n) }[/math] 。