查看“︁等价（逻辑）”︁的源代码

[[分类:命题逻辑]]
{{InfoBox
|name=等价
|eng_name=biconditional
|aliases=双条件,实质双条件,material biconditional,异或非,logical XNOR,同或
}}
'''等价'''('''biconditional''')是对两个[[命题]]，两者同时为[[真]]、同时为[[假]]，或者说互相[[蕴含]]，所对应的命题。

<blockquote>
尽管“equivalence”和“等价”用词更加对应。
在数理逻辑领域，英语 equivalence 一般对应的是中文术语的[[等值（逻辑）|等值]]（命题的关系之一）， biconditional 对应中文术语的等价（逻辑联结词之一）。
</blockquote>

== 定义 ==

{{Operation
|name=等价
|symbol=<math>\leftrightarrow</math>
|latex=\leftrightarrow
|operand=命题公式
|result=命题公式
}}
{{InfoBox
|name=双条件命题
|eng_name=biconditional proposition
}}
{{InfoBox
|name=前件
|eng_name=antecedent
|aliases=条件,protasis
}}
{{InfoBox
|name=后件
|eng_name=consequent
|aliases=结论,apodosis
}}
对命题 <math>P</math> 、 <math>Q</math> ，记命题 <math>R</math> 满足：
* 当 <math>P</math> 为真同时 <math>Q</math> 也为真时， <math>R</math> 为真；
* 当 <math>P</math> 为假同时 <math>Q</math> 也为假时， <math>R</math> 为真；
* 当 <math>P</math> 为真同时 <math>Q</math> 为假时， <math>R</math> 为假；
* 当 <math>P</math> 为假同时 <math>Q</math> 为真时， <math>R</math> 为假。
称这样的命题 <math>R</math> 为命题 <math>P</math> 、 <math>Q</math> 构成的'''双条件命题'''('''bidirectional proposition''')，记为 <math>P \leftrightarrow Q</math> ，读作'''<math>P</math> 当且仅当 <math>Q</math>''' ('''<math>P</math> if and only if <math>Q</math>''' ，常缩写为 '''<math>P</math> iff <math>Q</math>''') 或 '''<math>P</math> 等价于 <math>Q</math>'''。其中[[逻辑联结词]] <math>\leftrightarrow</math> 称为'''双条件词'''或'''等价词'''， <math>P</math> 称为双条件命题的'''前提'''或'''前件'''('''antecedent''')， <math>Q</math> 称为双条件命题的'''结论'''或'''后件'''('''consequent''')。

<blockquote>
一般情况下，“等价命题”多指等值的命题。
使用等价联结词的命题，有英语 bidirectional proposition，一般译为“双条件命题”，但很少见。
一般极少会在中文语境中单独表达“使用了等价逻辑联结词的命题”这个概念。
</blockquote>

主联结词为等价词的公式称为'''等价式'''('''disjunctive formula''')。

=== 真值表 ===

{| class='wikitable'
|-
! <math>p</math>
! <math>q</math>
! <math>p \leftrightarrow q</math>
|-
| style='background-color: rgba(0,255,0,0.1)' | T
| style='background-color: rgba(0,255,0,0.1)' | T
| style='background-color: rgba(0,255,0,0.1)' | T
|-
| style='background-color: rgba(0,255,0,0.1)' | T
| style='background-color: rgba(255,0,0,0.1)' | F
| style='background-color: rgba(0,255,0,0.1)' | F
|-
| style='background-color: rgba(255,0,0,0.1)' | F
| style='background-color: rgba(0,255,0,0.1)' | T
| style='background-color: rgba(0,255,0,0.1)' | F
|-
| style='background-color: rgba(255,0,0,0.1)' | F
| style='background-color: rgba(0,255,0,0.1)' | F
| style='background-color: rgba(0,255,0,0.1)' | T
|}

== 性质 ==

* 对命题 <math>P</math> 和 <math>Q</math>，有 <math>P \leftrightarrow Q = (P \rightarrow Q) \land (Q \rightarrow P) = (P \land Q) \lor (\lnot P \lor \lnot Q)</math>。
* 交换律：对命题 <math>P</math> 和 <math>Q</math>，有 <math>P \leftrightarrow Q = Q \leftrightarrow P</math>。
* 结合律：对命题 <math>P</math> 、 <math>Q</math> 或 <math>R</math>，有 <math>(P \leftrightarrow Q) \leftrightarrow R = P \leftrightarrow (Q \leftrightarrow R)</math>。


{{命题逻辑}}
{{逻辑联结词}}

== 琐事 ==

=== 名称 ===

在数字电路中有另一个常见的名称，异或非（XNOR），基本上是按照与非、或非的方式命名的。

另外在这个领域也经常被叫做“同或”，指和“异或”相反的，两个输入相同。
但是这个叫法有两个问题：
* 与“或”和“异或”不同，等价本身和“或”没有任何关系；
* 第二是确认不到可靠词源，只是确实习惯上很多人都在这么叫。
推测可能是以为“异或”是“异”的意思就给“同”生造了一个词。