等价（逻辑）

等价
术语名称	等价
英语名称	biconditional
别名	双条件, 实质双条件, material biconditional, 异或非, logical XNOR, 同或

等价(biconditional)是对两个命题，两者同时为真、同时为假，或者说互相蕴含，所对应的命题。

尽管“equivalence”和“等价”用词更加对应。在数理逻辑领域，英语 equivalence 一般对应的是中文术语的等值（命题的关系之一）， biconditional 对应中文术语的等价（逻辑联结词之一）。

定义

等价
运算名称	等价
运算符号	[math]\displaystyle{ \leftrightarrow }[/math]
Latex	\leftrightarrow
运算对象	命题公式
运算元数	2
运算结果	命题公式

双条件命题
术语名称	双条件命题
英语名称	biconditional proposition

前件
术语名称	前件
英语名称	antecedent
别名	条件, protasis

后件
术语名称	后件
英语名称	consequent
别名	结论, apodosis

对命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 、 [math]\displaystyle{ Q }[/math] ，记命题 [math]\displaystyle{ R }[/math] 满足：

当 [math]\displaystyle{ P }[/math] 为真同时 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 也为真时， [math]\displaystyle{ R }[/math] 为真；
当 [math]\displaystyle{ P }[/math] 为假同时 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 也为假时， [math]\displaystyle{ R }[/math] 为真；
当 [math]\displaystyle{ P }[/math] 为真同时 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 为假时， [math]\displaystyle{ R }[/math] 为假；
当 [math]\displaystyle{ P }[/math] 为假同时 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 为真时， [math]\displaystyle{ R }[/math] 为假。

称这样的命题 [math]\displaystyle{ R }[/math] 为命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 、 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 构成的双条件命题(bidirectional proposition)，记为 [math]\displaystyle{ P \leftrightarrow Q }[/math] ，读作[math]\displaystyle{ P }[/math] 当且仅当 [math]\displaystyle{ Q }[/math] ([math]\displaystyle{ P }[/math] if and only if [math]\displaystyle{ Q }[/math] ，常缩写为 [math]\displaystyle{ P }[/math] iff [math]\displaystyle{ Q }[/math]) 或 [math]\displaystyle{ P }[/math] 等价于 [math]\displaystyle{ Q }[/math]。其中逻辑联结词 [math]\displaystyle{ \leftrightarrow }[/math] 称为双条件词或等价词， [math]\displaystyle{ P }[/math] 称为双条件命题的前提或前件(antecedent)， [math]\displaystyle{ Q }[/math] 称为双条件命题的结论或后件(consequent)。

一般情况下，“等价命题”多指等值的命题。使用等价联结词的命题，有英语 bidirectional proposition，一般译为“双条件命题”，但很少见。一般极少会在中文语境中单独表达“使用了等价逻辑联结词的命题”这个概念。

主联结词为等价词的公式称为等价式(disjunctive formula)。

真值表

[math]\displaystyle{ p }[/math]	[math]\displaystyle{ q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \leftrightarrow q }[/math]
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	T

性质

对命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 和 [math]\displaystyle{ Q }[/math]，有 [math]\displaystyle{ P \leftrightarrow Q = (P \rightarrow Q) \land (Q \rightarrow P) = (P \land Q) \lor (\lnot P \lor \lnot Q) }[/math]。
交换律：对命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 和 [math]\displaystyle{ Q }[/math]，有 [math]\displaystyle{ P \leftrightarrow Q = Q \leftrightarrow P }[/math]。
结合律：对命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 、 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 或 [math]\displaystyle{ R }[/math]，有 [math]\displaystyle{ (P \leftrightarrow Q) \leftrightarrow R = P \leftrightarrow (Q \leftrightarrow R) }[/math]。

命题逻辑/零阶逻辑
基本概念	命题	命题、命题变元、命题常量
基本概念	真值	真[math]\displaystyle{ \mathrm{T} }[/math]/[math]\displaystyle{ 1 }[/math]/[math]\displaystyle{ \top }[/math]、假[math]\displaystyle{ \mathrm{F} }[/math]/[math]\displaystyle{ 0 }[/math]/[math]\displaystyle{ \bot }[/math]
逻辑联结词	否定（非）[math]\displaystyle{ \lnot }[/math]、合取（且/与）[math]\displaystyle{ \land }[/math]、析取（或）[math]\displaystyle{ \lor }[/math]
逻辑联结词	蕴含（推出）[math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math]、等价（当且仅当）[math]\displaystyle{ \leftrightarrow }[/math]
命题公式	语义	真值表、指派、解释、满足
	分类	重言式/永真式、偶然式/仅可满足式/可真可假式、矛盾式/永假式/不可满足式
	范式	析取范式、合取范式（主析取范式、主合取范式）
语义关系	等值	等值/等价[math]\displaystyle{ = }[/math]/[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math]、置换
语义关系	重言蕴含	重言蕴含[math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math]

逻辑联结词
零元
真值表			[math]\displaystyle{ \bot }[/math]								[math]\displaystyle{ \top }[/math]
真值表			T								F
名称			真[math]\displaystyle{ \top }[/math]								假[math]\displaystyle{ \bot }[/math]
二进制			0								1
一元
真值表	[math]\displaystyle{ p }[/math]		[math]\displaystyle{ \bot }[/math]				[math]\displaystyle{ \lnot p }[/math]				[math]\displaystyle{ p }[/math]				[math]\displaystyle{ \top }[/math]
	T		F								T
	F		F				T				F				T
名称			假[math]\displaystyle{ \bot }[/math]				否定（非）[math]\displaystyle{ \lnot }[/math]				（恒等映射[math]\displaystyle{ \mathrm{id} }[/math]）				真[math]\displaystyle{ \top }[/math]
缩写			-				NOT				-				-
二进制			0				1				2				3
二元
真值表	[math]\displaystyle{ p }[/math]	[math]\displaystyle{ q }[/math]	[math]\displaystyle{ \bot }[/math]	[math]\displaystyle{ p \bar{\vee} q }[/math] [math]\displaystyle{ p \downarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \nleftarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ \lnot p }[/math]	[math]\displaystyle{ p \nrightarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ \lnot q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \oplus q }[/math] [math]\displaystyle{ p \nleftrightarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \barwedge q }[/math] [math]\displaystyle{ p \uparrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \land q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \leftrightarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \rightarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p }[/math]	[math]\displaystyle{ p \leftarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \lor q }[/math]	[math]\displaystyle{ \top }[/math]
	T	T	F								T
	T	F	F				T				F				T
	F	T	F		T		F		T		F		T		F		T
	F	F	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T
名称			假 [math]\displaystyle{ \bot }[/math]	或非 [math]\displaystyle{ \downarrow }[/math]/[math]\displaystyle{ \bar{\vee} }[/math]	-	否定非 [math]\displaystyle{ \lnot }[/math]	-	否定非 [math]\displaystyle{ \lnot }[/math]	互斥析取异或 [math]\displaystyle{ \oplus }[/math]/[math]\displaystyle{ \nleftrightarrow }[/math]/[math]\displaystyle{ \veebar }[/math]	与非 [math]\displaystyle{ \uparrow }[/math]/[math]\displaystyle{ \barwedge }[/math]	合取且/与 [math]\displaystyle{ \land }[/math]	等价当且仅当 [math]\displaystyle{ \leftrightarrow }[/math]	投影映射 [math]\displaystyle{ \mathrm{proj}_2 }[/math]	蕴含推出 [math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math]	投影映射 [math]\displaystyle{ \mathrm{proj}_1 }[/math]	-	析取或 [math]\displaystyle{ \lor }[/math]	真 [math]\displaystyle{ \top }[/math]
缩写			-	NOR	-	NOT	NIMPLY	NOT	XOR	NAND	AND	XNOR EQV	-	IMPLY	-	-	OR	-
二进制			0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15

琐事

名称

在数字电路中有另一个常见的名称，异或非（XNOR），基本上是按照与非、或非的方式命名的。

另外在这个领域也经常被叫做“同或”，指和“异或”相反的，两个输入相同。但是这个叫法有两个问题：

与“或”和“异或”不同，等价本身和“或”没有任何关系；
第二是确认不到可靠词源，只是确实习惯上很多人都在这么叫。

推测可能是以为“异或”是“异”的意思就给“同”生造了一个词。