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[[分类:命题逻辑]]{{DEFAULTSORT:deng3jia4}}
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|keywords=等价, 双条件, 等价词, 当且仅当
|description=本文介绍等价的定义、性质与表示方法，包括等价作为二元逻辑联结词的概念，其真值表定义，及其在经典逻辑中的运算性质。
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|published_time=2023-08-06
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{{InfoBox
|name=等价
|eng_name=biconditional
|aliases=双条件,实质双条件,material biconditional,异或非,logical XNOR,同或
}}
'''等价'''('''biconditional''')是二元[[逻辑联结词]]，表示“两个[[命题]]具有相同[[真值]]”的逻辑关系。也可以说两个命题互相[[蕴含]]。

<blockquote>
尽管“equivalence”和“等价”用词看似更加对应。
在数理逻辑领域，“equivalence”一般对应[[等值（逻辑）|等值]]（命题间的关系），而“biconditional”对应等价（逻辑联结词）。
</blockquote>

== 定义 ==

{{Operation
|name=等价
|symbol=<math>\leftrightarrow</math>
|latex=\leftrightarrow
|operand=命题公式
|result=命题公式
}}
{{InfoBox
|name=双条件命题
|eng_name=biconditional proposition
}}
{{InfoBox
|name=前件
|eng_name=antecedent
|aliases=条件,protasis
}}
{{InfoBox
|name=后件
|eng_name=consequent
|aliases=结论,apodosis
}}
对命题 <math>P</math> 、 <math>Q</math> ，记命题 <math>R</math> 满足：
* 当 <math>P</math> 为真同时 <math>Q</math> 也为真时， <math>R</math> 为真；
* 当 <math>P</math> 为假同时 <math>Q</math> 也为假时， <math>R</math> 为真；
* 当 <math>P</math> 为真同时 <math>Q</math> 为假时， <math>R</math> 为假；
* 当 <math>P</math> 为假同时 <math>Q</math> 为真时， <math>R</math> 为假。
称这样的命题 <math>R</math> 为命题 <math>P</math> 、 <math>Q</math> 构成的'''双条件命题'''('''biconditional proposition''')，记为 <math>P \leftrightarrow Q</math> ，读作'''<math>P</math> 当且仅当 <math>Q</math>''' ('''<math>P</math> if and only if <math>Q</math>''' ，常缩写为 '''<math>P</math> iff <math>Q</math>'''<ref>缩写 iff 一般仍读作 if and only if {{IPA|[ˈɪf(ə)n̩(d)ˈəʊ̯n.liˌɪf]}} ，偶尔有读 {{IPA|[ɪfː]}} 的。 [https://www.merriam-webster.com/dictionary/iff] [https://english.stackexchange.com/questions/291860/pronunciation-of-iff]。</ref>) 或 '''<math>P</math> 等价于 <math>Q</math>''' 。
其中逻辑联结词 <math>\leftrightarrow</math> 称为'''双条件词'''或'''等价词'''， <math>P</math> 称为双条件命题的'''前提'''或'''前件'''('''antecedent''')， <math>Q</math> 称为双条件命题的'''结论'''或'''后件'''('''consequent''')。

主联结词为等价词的公式称为'''双条件式'''('''biconditional formula''')；
主联结词为等价词的命题称为'''双条件命题'''('''biconditional proposition''')。

<blockquote>
一般情况下，不使用“等价式”和“等价命题”的说法，因为“等价命题”多指两个或多个等值(equivalent)的命题。
一般极少会在中文语境中单独表达“使用了等价逻辑联结词的命题”这个概念。
</blockquote>

=== 真值表 ===

{| class="wikitable" style="text-align:center;border-width:2px;margin: 0 auto"
|+ <math>\leftrightarrow</math> 的真值表
|-
! scope="col" style="width:33%;border-bottom-width:2px" | <math>p</math>
! scope="col" style="width:33%;border-bottom-width:2px" | <math>q</math>
! scope="col" style="width:34%;border-bottom-width:2px" | <math>p \leftrightarrow q</math>
|-
| {{True}}
| {{True}}
| {{True}}
|-
| {{True}}
| {{False}}
| {{False}}
|-
| {{False}}
| {{True}}
| {{False}}
|-
| {{False}}
| {{False}}
| {{True}}
|}

== 性质 ==

* 等价表示
** 表达为[[否定]]、[[合取]]、[[析取]]的组合：对任意命题 <math>P</math> 和 <math>Q</math> ， <math>P\leftrightarrow Q = (P \land Q) \lor (\lnot P \land \lnot Q) = (P \lor \lnot Q) \land (\lnot P \lor Q)</math> 。
** 是[[互斥析取]]的否定：对任意命题 <math>P</math> 和 <math>Q</math> ， <math>P\leftrightarrow Q = \lnot(P\nleftrightarrow Q)</math> 。
** 相当于两方向[[蕴含]]的析取：对任意命题 <math>P</math> 和 <math>Q</math> ， <math>P\leftrightarrow Q = (P\rightarrow Q) \land (Q\rightarrow P)</math> 。
* 运算性质
** [[结合律]]：对命题 <math>P</math> 、 <math>Q</math> 和 <math>R</math> ，有 <math>(P \leftrightarrow Q) \leftrightarrow R = P \leftrightarrow (Q \leftrightarrow R)</math> 。
** [[交换律]]：对命题 <math>P</math> 和 <math>Q</math>，有 <math>P \leftrightarrow Q = Q \leftrightarrow P</math>。
** 特殊值
*** <math>P \leftrightarrow \mathrm{F} = \lnot P</math> 。
*** <math>P \leftrightarrow \mathrm{T} = P</math> 。
** 每个元素都是二阶元、是自身的逆元：对任意命题 <math>P</math> ， <math>P\leftrightarrow P=\mathrm{T}</math> 。

== 不同逻辑系统中的等价 ==

以上为经典逻辑中的等价：等价是真值函数的，完全由真值表定义。
* 直觉主义逻辑中，等价是两侧的蕴含，而蕴含与可证明性相关，也就是要求 <math>P\leftrightarrow Q</math> 为真当且仅当存在 <math>P</math> 和 <math>Q</math> 之间双向的构造性证明，而不仅仅是符合真值表。
* 多值逻辑、模糊逻辑中，真值的取值可能性更多，等价可能有更复杂的定义方式，但通常保持“两个命题真值相同”的核心概念。

<blockquote>
自然语言中，使用明确动词短语“等价于”、“等同于”，或使用动词“有且仅有”、连词“当且仅当”等表达等价的逻辑关系。
自然语言中一般用这些词语表示概念的等同，或形式之间可互相推理出，而不仅仅是联结词中要求的真值相同。
</blockquote>


{{命题逻辑}}
{{逻辑联结词}}

== 琐事 ==

=== 名称 ===

在数字电路中，特别是门电路中，有另一个常见的名称，异或非（XNOR），是按照[[与非]]、[[或非]]的方式命名的，先进行异或再进行非。

另外硬件领域也经常被叫做“同或”，指和“异或”相反的，两个输入相同。
但是这个叫法有两个问题：
* 与“或”和“异或”不同，等价本身和“或”没有任何关系；
* 确认不到可靠词源，只是确实习惯上很多人都在这么叫。
推测可能是误将“异或”（字面意思应为“相对不太常用的另一种‘或’”）望文生义成“异”并认为“或”没有语义，就给“同”生造了一个词。同时“同”比“等价”更简单、更容易传达含义，就被错误保留了下来。