Tarski 真理定义

真理定义
术语名称	真理定义
英语名称	definition of truth
别名	真定义

基本语义定义
术语名称	基本语义定义
英语名称	basic semantic definition
别名	真定义

“真理定义”一词指逻辑学中、哲学上关于什么是“真”这一概念本身的讨论。塔斯基真理定义指塔斯基对形式语言中的“真”概念的递归定义。 该定义核心思想是在元语言中定义对象语言中的真理概念，避免语义悖论，是模型论的基础。

背景与核心思想

在命题逻辑及谓词逻辑中， Tarski 提出关于解决语义悖论的方案，其核心包括：

• 语言层次：区分对象语言和元语言，真理概念只能在元语言中定义。“真”是元语言中的谓词（“元谓词”），与对象命题或其他涉及元语言的成分共同构成元语言中的命题（“元命题”）。
• 避免自我指涉：真与假只能应用于对象语言的命题，以防止谓词“真”被用于包含“真”的命题中。
• 递归定义：通过对象语言中简单情况的定义逐步构建对象语言中复杂公式的真值。
• 实质适当性条件：真理定义应蕴含所有 T-等值式(T-sentences)。

说谎者悖论

一个常见的自我指涉与否定共同构成自我否定的句子是说谎者悖论，即“这句话是假的”。这个语句中引用了自身“这句话”，并对其进行了判定。 在 Tarski 的这种方案下，这句话涉及“假”这一词语，是一个元命题，而元谓词“假”只能用于对象语言中的命题，因此不构成可以判断真假的语句。

T-语句

Tarski 真理定义中，作为真理定义的实质适当性条件： [math]\displaystyle{ \phi }[/math] 是真的当且仅当 [math]\displaystyle{ P }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ \phi }[/math] 是对象语言中语句的名称， [math]\displaystyle{ P }[/math] 是该语句在元语言中的翻译。

一个经典的举例说法是：

“雪是白的”是真的，当且仅当雪是白的。

“当且仅当”前的“‘雪是白的’”是对一个命题的语言描述，对其使用了“是真的”这一元谓词，而“当且仅当”后的“雪是白的”则是现实中的事实。 这个关于事实的语句（命题）和事实本身之间也有着这句话中的形式语言（人类所说的话）和元语言（客观事实）的层次关系。

真理定义（命题逻辑）

也称为真理定义。

对命题公式（ [math]\displaystyle{ L_0 }[/math]-公式） [math]\displaystyle{ \phi }[/math] 与指派 [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] ，递归地定义元谓词 “[math]\displaystyle{ \phi^\sigma }[/math] 是真的”，即 “[math]\displaystyle{ \sigma\vDash\phi }[/math]” （满足）如下：

• 对原子公式（命题变元） [math]\displaystyle{ p }[/math] ： [math]\displaystyle{ \sigma\vDash p }[/math] ，当且仅当 [math]\displaystyle{ \sigma(p)=\mathrm{T} }[/math] ；
• 对 [math]\displaystyle{ \lnot\phi }[/math] ： [math]\displaystyle{ \sigma\vDash\lnot\phi }[/math] ，当且仅当 [math]\displaystyle{ \sigma\nvDash\phi }[/math] ；
• 对 [math]\displaystyle{ \phi\land\psi }[/math] ： [math]\displaystyle{ \sigma\vDash\phi\land\psi }[/math] ，当且仅当 [math]\displaystyle{ \sigma\vDash\phi }[/math] 且 [math]\displaystyle{ \sigma\vDash\psi }[/math] ；
• 对 [math]\displaystyle{ \phi\lor\psi }[/math] ： [math]\displaystyle{ \sigma\vDash\phi\lor\psi }[/math] ，当且仅当 [math]\displaystyle{ \sigma\vDash\phi }[/math] 或 [math]\displaystyle{ \sigma\vDash\psi }[/math] ；
• 对 [math]\displaystyle{ \phi\rightarrow\psi }[/math] ：[math]\displaystyle{ \sigma\vDash\phi\rightarrow\psi }[/math] ，当且仅当 [math]\displaystyle{ \sigma\nvDash\phi }[/math] 或 [math]\displaystyle{ \sigma\vDash\psi }[/math] ；
• 对 [math]\displaystyle{ \phi\leftrightarrow\psi }[/math] ： [math]\displaystyle{ \sigma\vDash\phi\leftrightarrow\psi }[/math] ，当且仅当 [math]\displaystyle{ \sigma\vDash\phi }[/math] 与 [math]\displaystyle{ \sigma\vDash\psi }[/math] 同时成立或同时不成立。

相反的情况定义为“命题 [math]\displaystyle{ \phi^\sigma }[/math] 是假的”，即 [math]\displaystyle{ \sigma\nvDash\phi }[/math] 。

真理定义（谓词逻辑）

也称为基本语义定义（basic semantic definition，缩写为BSD）。

对模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] ，及其上的赋值 [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] ，定义：

对 [math]\displaystyle{ L_1 }[/math]-项 [math]\displaystyle{ t }[/math] ，递归地定义其在模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 和赋值 [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] 下的值如下：

• 对个体常项 [math]\displaystyle{ c }[/math] ，模型的解释已给定其值 [math]\displaystyle{ c^{\mathfrak{A},\sigma} = c^\mathfrak{A} }[/math] ；
• 对个体变项 [math]\displaystyle{ x }[/math] ，由赋值给定其值 [math]\displaystyle{ x^{\mathfrak{A},\sigma} = \sigma(x) }[/math] ；
• 对包含函项的形式 [math]\displaystyle{ f(t_1, \dots, t_n) }[/math] ，定义其值 [math]\displaystyle{ (f(t_1, \dots, t_n))^{\mathfrak{A},\sigma} = f^\mathfrak{A} (t_1^{\mathfrak{A},\sigma} \dots t_n^{\mathfrak{A},\sigma}) }[/math] 。

对谓词公式（ [math]\displaystyle{ L_1 }[/math]-公式） [math]\displaystyle{ \phi }[/math] ，递归地定义其在模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 和赋值 [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] 下 “[math]\displaystyle{ \phi^\sigma }[/math] 是真的”，即 “[math]\displaystyle{ \mathfrak{A},\sigma\vDash\phi }[/math]”（满足）如下：

• 对等词命题 [math]\displaystyle{ s=t }[/math] ： [math]\displaystyle{ \mathfrak{A},\sigma\vDash s = t }[/math] 为真，当且仅当 [math]\displaystyle{ s^{\mathfrak{A},\sigma} = t^{\mathfrak{A},\sigma} }[/math] ；
• 对 [math]\displaystyle{ P(t_1, \dots, t_n) }[/math] ： [math]\displaystyle{ \mathfrak{A},\sigma\vDash = P(t_1, \dots, t_n) }[/math] 为真，当且仅当 [math]\displaystyle{ (t_1^{\mathfrak{A},\sigma}, \dots, t_n^{\mathfrak{A},\sigma}) \in P^{\mathfrak{A}} }[/math] ；
• 对 [math]\displaystyle{ \lnot\phi }[/math] ： [math]\displaystyle{ \mathfrak{A},\sigma\vDash\lnot\phi }[/math] ，当且仅当 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A},\sigma\nvDash\phi }[/math] ；
• 对 [math]\displaystyle{ \phi\land\psi }[/math] ： [math]\displaystyle{ \mathfrak{A},\sigma\vDash\phi\land\psi }[/math] ，当且仅当 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A},\sigma\vDash\phi }[/math] 且 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A},\sigma\vDash\psi }[/math] ；
• 对 [math]\displaystyle{ \phi\lor\psi }[/math] ： [math]\displaystyle{ \mathfrak{A},\sigma\vDash\phi\lor\psi }[/math] ，当且仅当 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A},\sigma\vDash\phi }[/math] 或 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A},\sigma\vDash\psi }[/math] ；
• 对 [math]\displaystyle{ \phi\rightarrow\psi }[/math] ：[math]\displaystyle{ \mathfrak{A},\sigma\vDash\phi\rightarrow\psi }[/math] ，当且仅当 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A},\sigma\nvDash\phi }[/math] 或 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A},\sigma\vDash\psi }[/math] ；
• 对 [math]\displaystyle{ \phi\leftrightarrow\psi }[/math] ： [math]\displaystyle{ \mathfrak{A},\sigma\vDash\phi\leftrightarrow\psi }[/math] ，当且仅当 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A},\sigma\vDash\phi }[/math] 与 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A},\sigma\vDash\psi }[/math] 同时成立或同时不成立；
• 对 [math]\displaystyle{ \forall x \phi }[/math] ： [math]\displaystyle{ \mathfrak{A},\sigma\vDash(\forall x \phi) }[/math] ，当且仅当对每一个 [math]\displaystyle{ a \in A }[/math] ， [math]\displaystyle{ \mathfrak{A},\sigma(x/a)\vDash\phi }[/math] ；
• 对 [math]\displaystyle{ \exists x \phi }[/math] ： [math]\displaystyle{ \mathfrak{A},\sigma\vDash(\exists x \phi) }[/math] ，当且仅当对某个 [math]\displaystyle{ a \in A }[/math] ， [math]\displaystyle{ \mathfrak{A},\sigma(x/a)\vDash\phi }[/math] 。

称公式 [math]\displaystyle{ \phi }[/math] 在模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 中是真的当且仅当对模型上的所有赋值 [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] 都有 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A},\sigma(x/a)\vDash\phi }[/math] 。

相反的情况定义为“在模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 和赋值 [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] 中命题 [math]\displaystyle{ \phi^\sigma }[/math] 是假的”，即 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A},\sigma\nvDash\phi }[/math] 。

参考资料

如何理解Tarski的真理论？ - LLLBK的回答 - 知乎