黄金分割比

黄金分割比
术语名称	黄金分割比
英语名称	golden ratio
别名	黄金分割, 黄金比例, 黄金比, 黄金分割数, divine proportion, golden cut, golden proportion, golden number, 中外比, medial section

黄金分割/黄金分割比(golden ratio)是一个比值，当整体分为两部分后，整体与较大部分之比、较大部分与较小部分之比相同，则其比值就是黄金分割比。

[math]\displaystyle{ (a+b) : a = a : b }[/math]

定义

黄金分割比
对象名称	黄金分割比
对象记号	[math]\displaystyle{ \varphi }[/math]
Latex	\varphi
对象类别	无理数

黄金分割比的倒数
对象名称	黄金分割比的倒数
对象记号	[math]\displaystyle{ \Phi }[/math]
Latex	\Phi
对象类别	无理数

比例 [math]\displaystyle{ \frac{a+b}{a}=\frac{a}{b} }[/math] 中的比值，即一元二次方程 [math]\displaystyle{ 1 + \varphi = \varphi^2 }[/math] 的正实数解 [math]\displaystyle{ \varphi = \frac{1+\sqrt5}{2} }[/math] 称为黄金分割/黄金分割比(golden ratio)。

注：这个定义只是一个较习惯的符号规范。事实上也有人将 [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] 叫黄金分割比并将 [math]\displaystyle{ \varphi^{-1}=\varphi-1=\frac{\sqrt5-1}{2} }[/math] 叫黄金分割率。但也有人只将较小部分与较大部分之比、较大部分与整体之比，即 [math]\displaystyle{ \varphi^{-1} }[/math] 叫做黄金分割比。有人记 [math]\displaystyle{ \Phi = \varphi^{-1} }[/math] 。还有人把两个都叫做黄金分割比，根据上下文区分。

性质

[math]\displaystyle{ \varphi }[/math] 是无理数。是一个二次无理数，且在有理数域上的最小多项式为 [math]\displaystyle{ x^2-x-1 }[/math] 。 [math]\displaystyle{ \Phi=\varphi^{-1} = \varphi-1 }[/math] 也是二次无理数，在有理数域上的最小多项式为 [math]\displaystyle{ x^2+x-1 }[/math] 。

十进制展开约为 1.618 。

连分数形式是 [math]\displaystyle{ \varphi=[1;1,1,\cdots]=[\overline{1}] }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \varphi^{-1}=[0;1,1,\cdots]=[0;\overline{1}] }[/math] 。

有 [math]\displaystyle{ \varphi^2= \varphi+1 }[/math] ，进一步地， [math]\displaystyle{ \varphi^n = \varphi^{n-1} + \varphi^{n-2} }[/math]。