Ford 圆

福特圆
术语名称	福特圆
英语名称	Ford circle

福特圆(Ford circle)是欧几里得平面上的一组圆形构成的分形，他们

定义

对任意有理数的最简分数形式 [math]\displaystyle{ \tfrac{p}{q} }[/math] ，在平面上，记数轴上方与数轴相切于 [math]\displaystyle{ \frac{p}{q} }[/math] ，半径是 [math]\displaystyle{ \tfrac{1}{2 q^2} }[/math] ，称为与有理数 [math]\displaystyle{ \tfrac{p}{q} }[/math] 关联的 Ford 圆(Ford circle associated with [math]\displaystyle{ \tfrac{p}{q} }[/math])。

注：可以扩展到复数域内的 Euclid 整环上，称为 Ford 球。

性质

两个福特圆 [math]\displaystyle{ C\left[\tfrac{a}{b}\right] }[/math] 和 [math]\displaystyle{ C\left[\frac{c}{d}\right] }[/math] 相切当且仅当 [math]\displaystyle{ \left|ad-bc\right|=1 }[/math] ，否则必有 [math]\displaystyle{ \left|ad-bc\right|\gt 1 }[/math] ，此时两个圆相离。

通过上式可确认此时两个圆有公共的相切 Ford 圆 [math]\displaystyle{ C\left[\tfrac{a+c}{b+d}\right] }[/math] ，对应着两个数的中间分数。因此所有的福特圆之间的相切关系就会得到 Stern-Brocot 树。

Ford 球也有类似的公共相切特征，是一组球之间相切，且会按照整环选择的不同得到不同的相切模式。