矛盾律

矛盾律
术语名称	矛盾律
英语名称	law of non-contradiction
别名	不矛盾律, 无矛盾律, law of contradiction, principle of non-contradiction, principle of contradiction, LNC, PNC

矛盾律(law of non-contradiction ，或 law of contradiction)是古典逻辑三大基本规律之一，指不能同时接受一个命题及其否命题，或者说不能接受一个命题既真又假，或者说一个 [math]\displaystyle{ A }[/math] 不能同时是非 [math]\displaystyle{ A }[/math] ，即“A 必不非 A”。

定理

永真式 [math]\displaystyle{ \vDash \lnot (P \land \lnot P) }[/math] 称为矛盾律(law of non-contradiction)，简写为 LNC 。

在谓词逻辑中，矛盾律表现为： [math]\displaystyle{ \vDash \forall x \lnot (P(x) \land \lnot P(x)) }[/math] 。

常见等价形式包括：

• [math]\displaystyle{ \vDash (P \land \lnot P) \rightarrow \bot }[/math]
• [math]\displaystyle{ \vDash \lnot P \rightarrow P \rightarrow \bot }[/math]

意义

• 在自然演绎系统中，矛盾律常作为基本推理规则或定理出现，或者以爆炸原理的形式作为定理出现。
• 在 Hilbert 系统中，矛盾律通常作为一个重要的公理或定理。
• 矛盾律与同一律、排中律共同构成古典逻辑三大基本规律。在古典逻辑中：
  • 它确保了逻辑的一致性，即系统内不能包含逻辑矛盾；
  • 它为爆炸原理提供了逻辑基础；
  • 它是理性思维的基本前提，被认为是所有逻辑系统中最不可置疑的原则。
• 从理论系统中发现矛盾，即悖论，往往意味着理论系统的一致性缺陷。

非经典逻辑中的情况

• 直觉主义逻辑
  • 认为矛盾律比排中律更为基本和不可置疑，完全接受矛盾律：即 [math]\displaystyle{ \lnot (P \land \lnot P) }[/math] 仍然是永真式。
• 多值逻辑
  • 多值逻辑中，矛盾律通常以修正的形式成立； [math]\displaystyle{ P \land \lnot P }[/math] 本身可能取真假以外的其他值。
• 模糊逻辑
  • 矛盾律不绝对成立，因为真值度连续变化。

其他表述

矛盾律的表述仅要求两个命题互为否定，可以扩展到命题逻辑外的逻辑领域中，并替换为一对互为否定的命题：

• 模态命题：不能既必然 A 又可能非 A ；不能既可能 A 又必然非 A 。
• 直言命题中的 A 与 O 、 E 与 I ：不能既所有 x 都具有性质 p 又有的 x 不具有性质 p ；不能既所有 x 都不具有性质 p 又有的 x 具有性质 p 。
• 直言命题中的单称命题：某个 x 不能既具有 p 又不具有 p 。即对一个个体词 [math]\displaystyle{ x }[/math] 及描述性质的谓词 [math]\displaystyle{ p }[/math] ，这一个体不能既具有这一性质（即命题 [math]\displaystyle{ p(x) }[/math] ）又不具有这一性质（即命题 [math]\displaystyle{ \lnot p(x) }[/math] ）。