直言命题
| 直言命题 | |
|---|---|
| 术语名称 | 直言命题 |
| 英语名称 | categorical proposition |
| 别名 | 定言命题 |
直言命题(categorical proposition)是古典逻辑中对命题的一个分类。直言命题总是具有形式“所有/有的/这个 S （不）具有性质 P ”，对应现代数理逻辑中的存在命题、全称命题和对某个个体的普通命题。
区别于假言命题和选言命题，直言命题是无选择、无条件的命题，因此被译为直言命题。英语中 categorical 则是指直言命题总是刻画某一分类的全部或其中个体所具有的性质。
需要注意的是，直言命题是古典逻辑学的一个分类，在哲学下的逻辑学仍在使用，但它不是一个数理逻辑中的常用分类方式。
相关术语
| 主项 | |
|---|---|
| 术语名称 | 主项 |
| 英语名称 | subject |
| 别名 | 主词 |
| 谓项 | |
|---|---|
| 术语名称 | 谓项 |
| 英语名称 | predicate |
| 别名 | 宾词 |
| 量 | |
|---|---|
| 术语名称 | 量 |
| 英语名称 | quantity |
| 别名 | 量项 |
| 质 | |
|---|---|
| 术语名称 | 质 |
| 英语名称 | quality |
| 别名 | 联项 |
直言命题总是具有形式“所有/有的/这个 S （不）是性质 P ”或“所有/有的/这个 S （不）具有性质 P ”。 其中：
- 主语(subject)中心词位置的 S 称为主项(subject)，
- 谓语部分(predicate)中心词位置的 P 称为谓项(predicate)，
- 表示数量(quantity)的“所有、有的、这个”称为量/量项(quantity)，
- 中间的动词“是、不是”称为质/联项(quality)。
主项和谓项地位相似，也统称词项。
| 全称命题 | |
|---|---|
| 术语名称 | 全称命题 |
| 英语名称 | universal proposition |
| 单称命题 | |
|---|---|
| 术语名称 | 单称命题 |
| 英语名称 | singular proposition |
| 特称命题 | |
|---|---|
| 术语名称 | 特称命题 |
| 英语名称 | particular proposition |
根据直言命题的量，被分为两类或三类：
- 全称(universal)命题：“所有”，指向分类全体。
- 单称(singular)命题：“这个”，指向分类中的某个特定个体。有时是专有名词的形式。由于单称可以看作对这个个体对应分类的全称，在分为两类的场景下，并入全称命题。
- 特称(particular)命题：“有的”，指向分类中的部分个体。
| 肯定命题 | |
|---|---|
| 术语名称 | 肯定命题 |
| 英语名称 | affirmative proposition |
| 否定命题 | |
|---|---|
| 术语名称 | 否定命题 |
| 英语名称 | negative proposition |
根据直言命题的质，被分为两类：
- 肯定(affirmative)命题：“是”，表达具有性质。
- 否定(negative)命题：“不是”，表达不具有性质。
| A命题 | |
|---|---|
| 术语名称 | A命题 |
| 英语名称 | A-proposition |
| 别名 | 全称肯定命题, Universal Affirmative |
| E命题 | |
|---|---|
| 术语名称 | E命题 |
| 英语名称 | E-proposition |
| 别名 | 全称否定命题, Universal Negative |
| I命题 | |
|---|---|
| 术语名称 | I命题 |
| 英语名称 | I-proposition |
| 别名 | 特称肯定命题, Particular Affirmative |
| O命题 | |
|---|---|
| 术语名称 | O命题 |
| 英语名称 | O-proposition |
| 别名 | 特称否定命题, Particular Negative |
因此直言命题被细分为四类。传统上，特别是在西方传统中世纪教育以及哲学逻辑学教育中，这些命题使用元音字母序列编号。
- 全称肯定命题(Universal Affirmative)/ A 命题(A-proposition)。“所有的 S 是 P ”，缩写为“SaP”。
- 全称否定命题(Universal Negative)/ E 命题(E-proposition)。“所有的 S 不是 P ”，缩写为“SeP”。
- 特称肯定命题(Particular Affirmative)/ I 命题(I-proposition)。“有的 S 是 P ”，缩写为“SiP”。
- 特称否定命题(Particular Negative)/ O 命题(O-proposition)。“有的 S 是 P ”，缩写为“SoP”。
| - | 肯定 / affirmative “是” |
否定 / negative “不是” |
|---|---|---|
| 全称 / universal “所有” |
A 命题 —— SaP 所有的 S 是 P 。 All S is P. |
E 命题 —— SeP 所有的 S 不是 P 。 No S is P.[1] |
| 特称 / particular “有的” |
I 命题 —— SiP 有的 S 是 P 。 Some S is P.[2] |
O 命题 —— SoP 有的 S 不是 P 。 Some S is not P. |
其中，肯定命题的字母 A 、 I 是拉丁语 affirmo （“我肯定”）的前两个元音字母，否定命题的字母 E 、 O 是拉丁语 nego （“我否定”）的前两个元音字母。
命题的 A E I O 类型会使得不同的主项谓项产生是否对这一类别中全部个体构成的范围产生判断的区别（传统逻辑的语言为“是否断定主项或谓项的全部外延”），这一属性被称为周延性(distributivity)，一些项是周延(distributed)的，一些项是不周延(undistributed)的。
| 类型 | 主项周延性 | 谓项周延性 |
|---|---|---|
| A 命题 | 周延 | 不周延 |
| E 命题 | 周延 | 周延 |
| I 命题 | 不周延 | 不周延 |
| O 命题 | 不周延 | 周延 |
主项的周延性可以通过量词确定，谓项的周延性可以通过质确定。可以认为谓项周延的两种情况里，“所有 S 不是 P”同时也是要求“所有 P 不是 S”，“有的 S 不是 P”同时也是要求“在所有 P 之外还有 S”，都是对所有 P 这一范围的边界做了个判断；而谓项不周延的两种情况里都不知道指出的部分是 P 的部分还是全部，无法判定范围。
逻辑关系
| 逻辑方阵 | |
|---|---|
| 术语名称 | 逻辑方阵 |
| 英语名称 | square of opposition |
| 别名 | 逻辑正方形 |
传统上会将 A E I O 四类命题画成一个方形，称为逻辑方阵(square of opposition)，并命名 SaP SeP SiP SoP 四个命题之间的逻辑关系。
[math]\displaystyle{ \begin{array}{ccccc} SaP & \leftarrow & 反对 & \rightarrow & SeP \\ \uparrow & \nwarrow & & \nearrow & \uparrow \\ 差等 & & 矛盾 & & 差等 \\ \downarrow & \swarrow & & \searrow & \downarrow \\ SiP & \leftarrow & 下反对 & \rightarrow & SoP \\ \end{array} }[/math]
| 反对关系 | |
|---|---|
| 术语名称 | 反对关系 |
| 英语名称 | contrary relation |
| 别名 | 上反对关系 |
| 下反对关系 | |
|---|---|
| 术语名称 | 下反对关系 |
| 英语名称 | subcontrary relation |
| 矛盾关系 | |
|---|---|
| 术语名称 | 矛盾关系 |
| 英语名称 | contradictory relation |
| 差等关系 | |
|---|---|
| 术语名称 | 差等关系 |
| 英语名称 | subaltern relation |
这些逻辑关系统称为对当关系，其传统名称为：
- 反对(contrary)：指 A （所有 S 都是 P）和 E （所有 S 都不是 P）之间的关系，只能同假不能同真。
- 下反对(subcontrary)：指 I （有的 S 是 P）和 O （有的 S 不是 P）之间的关系，只能同真不能同假。
- 矛盾(contradictory)：指 A （所有 S 都是 P）和 O （有的 S 不是 P）、 E （所有 S 都不是 P）和 I （有的 S 是 P）之间的关系，一定真假相反。
- 差等(subaltern)：指 A （所有 S 是 P）和 I （有的 S 是 P）、 E （所有 S 不是 P）和 O （有的 S 不是 P）之间的关系，若全称为真则特称必真，若特称为假则全称必假。
现代符号化
古典逻辑学的直言命题可以转化为现代数理逻辑中含有量词的谓词逻辑命题。其中，古典全称命题对应现代全称命题，古典特称命题对应现代存在命题，古典单称命题对应现代指定该个体的命题。
直言命题中的两个词项都在指定所描述内容的分类，因此可以被现代符号化为两个谓词。
| - | 肯定 / affirmative “是” |
否定 / negative “不是” |
|---|---|---|
| 全称 | A 命题 [math]\displaystyle{ \forall x (S(x) \rightarrow P(x)) }[/math] |
E 命题 [math]\displaystyle{ \forall x (S(x) \rightarrow \lnot P(x)) }[/math] |
| 单称 | [math]\displaystyle{ P(x_0) }[/math] | [math]\displaystyle{ \lnot P(x_0) }[/math] |
| 特称 | I 命题 [math]\displaystyle{ \exists x (S(x) \land P(x)) }[/math] |
O 命题 [math]\displaystyle{ \exists x (S(x) \land\lnot P(x)) }[/math] |
需要注意的是，这两种表示有两点区别：
- 传统逻辑的特称命题和全称命题假定了两个类 S 与 P 均既不是空类也不是全类，即也就是说总是能找到至少一个个体具有这一性质或不具有这一性质，和大部分自然语言一样在。这在现代逻辑中是不作要求的，因此与现代逻辑中的存在命题和全称命题有微妙的区别。
- 传统逻辑中“质”部分和谓项部分都可以有自己的否定，如“所有的 S 都不是非 P”，作为“所有的 S 都是 P”的“换质法”结果存在，其中谓项为“非 P”，质为“不是”。现代逻辑表示中这两部分被合并为一个谓词。