De Morgan 律（逻辑）

德摩根律
术语名称	德摩根律
英语名称
别名	德摩根定理, De Morgan's theorem

德摩根律(De Morgan's laws)是命题逻辑的重要定理之一，描述了命题间否定、合取和析取三个逻辑联结词的关系，即否定一个合取命题等价于析取两个命题的分别否定，否定一个析取命题等价于合取两个命题的分别否定。这一定理也可以扩展到命题逻辑的量词和模态逻辑的模态词上。

定理

以下两条永真式称为德摩根律(De Morgan's laws)：

• 合取的德摩根律： [math]\displaystyle{ \vDash \lnot (P \land Q) \leftrightarrow (\lnot P \lor \lnot Q) }[/math]
• 析取的德摩根律： [math]\displaystyle{ \vDash \lnot (P \lor Q) \leftrightarrow (\lnot P \land \lnot Q) }[/math]

每条定律都包含两个方向：

• 消去方向：
  • [math]\displaystyle{ \vDash \lnot (P \land Q) \rightarrow (\lnot P \lor \lnot Q) }[/math] ；
  • [math]\displaystyle{ \vDash \lnot (P \lor Q) \rightarrow (\lnot P \land \lnot Q) }[/math] ；
• 引入方向：
  • [math]\displaystyle{ \vDash (\lnot P \land \lnot Q) \rightarrow \lnot (P \lor Q) }[/math] ；
  • [math]\displaystyle{ \vDash (\lnot P \lor \lnot Q) \rightarrow \lnot (P \land Q) }[/math] 。

广义德摩根律

以下永真式称为广义德摩根律(generalized De Morgan's laws)：

• 合取的德摩根律： [math]\displaystyle{ \vDash \lnot (P_1 \land P_2 \land \cdots \land P_n) \leftrightarrow (\lnot P_1 \lor \lnot P_2 \lor \cdots \lor \lnot P_n) }[/math] 。
• 析取的德摩根律： [math]\displaystyle{ \vDash \lnot (P_1 \lor P_2 \lor \cdots \lor P_n) \leftrightarrow (\lnot P_1 \land \lnot P_2 \land \cdots \land \lnot P_n) }[/math] 。

谓词逻辑德摩根律

在谓词逻辑中，以下永真式称为量词的德摩根律(De Morgan's laws for quantifiers)：

• 全称量词的德摩根律： [math]\displaystyle{ \vDash \lnot \forall x p(x) \leftrightarrow \exists x \lnot p(x) }[/math] 。
• 存在量词的德摩根律： [math]\displaystyle{ \vDash \lnot \exists x p(x) \leftrightarrow \forall x \lnot p(x) }[/math] 。

模态逻辑德摩根律

在模态逻辑中，以下永真式称为模态词的德摩根律：

• 必然算子的德摩根律： [math]\displaystyle{ \vDash \lnot \Box P \leftrightarrow \Diamond \lnot P }[/math] 。
• 可能算子的德摩根律： [math]\displaystyle{ \vDash \lnot \Diamond P \leftrightarrow \Box \lnot P }[/math] 。

意义

• 在古典逻辑中，德摩根律提供了否定词与连接词之间关系的基本规律：
  • 它表明否定词可以"分配"到括号内，但需要将 ∧ 变为 ∨ ， ∨ 变为 ∧ ；
  • 为逻辑表达式的化简和范式转换提供了理论基础。
• 在自然演绎系统中，德摩根律对应四条重要的推理规则：
  • [math]\displaystyle{ \lnot (P \land Q) \vdash \lnot P \lor \lnot Q }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \lnot P \lor \lnot Q \vdash \lnot (P \land Q) }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \lnot (P \lor Q) \vdash \lnot P \land \lnot Q }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \lnot P \land \lnot Q \vdash \lnot (P \lor Q) }[/math]

非经典逻辑中的情况

• 经典逻辑：德摩根律是重要定理，包括两个方向的等价关系。
• 直觉主义逻辑：仅接受其中三个形式：
  • [math]\displaystyle{ \lnot (P \lor Q) \leftrightarrow (\lnot P \land \lnot Q) }[/math] 的两个方向；
  • [math]\displaystyle{ \lnot P \lor \lnot Q \rightarrow \lnot (P \land Q) }[/math] 。
• 多值逻辑：需要依赖算子间的对偶情况。
• 模糊逻辑：只要否定、合取、析取算子的定义满足对偶关系则仍成立。