合取

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合取
术语名称 合取
英语名称 conjunction
别名 逻辑与, logical AND

合取(conjunction)是对两个或多个命题，同时为真所对应的命题。 对应通常意义上的且或与。

定义

合取
运算名称 合取
运算符号 [math]\displaystyle{ \land }[/math]
Latex
\land
,
\wedge
运算对象 命题公式
运算元数 2
运算结果 命题公式
结构 布尔代数


对命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 、 [math]\displaystyle{ Q }[/math] ，记命题 [math]\displaystyle{ R }[/math] 满足：

  • 仅当 [math]\displaystyle{ P }[/math] 为真同时 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 也为真时， [math]\displaystyle{ R }[/math] 为真；
  • 若 [math]\displaystyle{ P }[/math] 为假， [math]\displaystyle{ R }[/math] 为假。
  • 若 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 为假， [math]\displaystyle{ R }[/math] 为假。

称这样的命题 [math]\displaystyle{ R }[/math] 为命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 、 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 的合取(conjunction)，记为 [math]\displaystyle{ P \land Q }[/math] ，读作[math]\displaystyle{ P }[/math] 且 [math]\displaystyle{ Q }[/math]/[math]\displaystyle{ P }[/math] 与 [math]\displaystyle{ Q }[/math]([math]\displaystyle{ P }[/math] and [math]\displaystyle{ Q }[/math]) 或[math]\displaystyle{ P }[/math] 合取 [math]\displaystyle{ Q }[/math]。其中逻辑联结词 [math]\displaystyle{ \land }[/math] 称为合取词。

∧
字符 ∧
Unicode码位 U+2227 Logical And[1]
Latex命令序列
\land
,
\wedge


有时也会记作 [math]\displaystyle{ P \& Q }[/math] 、[math]\displaystyle{ P \times Q }[/math] 或 [math]\displaystyle{ PQ }[/math]。

主联结词为合取词的公式称为合取式(conjunctive formula)，命题称为合取命题(conjunctive proposition)。

真值表

[math]\displaystyle{ p }[/math] [math]\displaystyle{ q }[/math] [math]\displaystyle{ p \land q }[/math]
T T T
T F F
F T F
F F F

性质

布尔代数的运算。

  • 运算性质：
    • 结合律：对命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 、 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 和 [math]\displaystyle{ R }[/math]，有 [math]\displaystyle{ (P \land Q) \land R = P \land (B \land C) }[/math]。
    • 交换律：对命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 和 [math]\displaystyle{ Q }[/math]，有 [math]\displaystyle{ P \land Q = Q \land P }[/math]。
    • 分配律：对命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 、 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 和 [math]\displaystyle{ R }[/math]，有 [math]\displaystyle{ P \land (Q \lor R) = (P \land Q) \lor (P \land R) }[/math]。
    • 吸收律：对命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 和 [math]\displaystyle{ Q }[/math]，有 [math]\displaystyle{ P \lor (P \land Q) = P }[/math]、[math]\displaystyle{ P \land (P \lor Q) = P }[/math]。
    • 德·摩根律：对命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 和 [math]\displaystyle{ Q }[/math]，有 [math]\displaystyle{ \lnot(P \land Q) = \lnot P \lor \lnot Q }[/math]、[math]\displaystyle{ \lnot(P \lor Q) = \lnot P \land \lnot Q }[/math]。
  • 特殊值：
    • [math]\displaystyle{ P \land P = P }[/math]
    • [math]\displaystyle{ P \land \mathrm{T} = P }[/math]
    • [math]\displaystyle{ P \land \mathrm{F} = \mathrm{F} }[/math]

多元合取

对命题 [math]\displaystyle{ P_1, P_2, \dots , P_n }[/math] ，由所有命题全部为真所构成的命题，叫做这些命题的合取(conjunction)，记作 [math]\displaystyle{ P_1 \land P_2 \land \dots \land P_n }[/math]。也记作 [math]\displaystyle{ \bigwedge_{i=1}^n P_i = P_1 \land P_2 \land \dots \land P_n }[/math]。

在此基础上，1个命题的合取定义为命题自身，0个命题的合取定义为真（vacuous truth）。

真值表

[math]\displaystyle{ p_1 }[/math] [math]\displaystyle{ p_2 }[/math] [math]\displaystyle{ \dots }[/math] [math]\displaystyle{ p_n }[/math] [math]\displaystyle{ \bigwedge_{i=1}^n p_i }[/math]
T T T T T
? ? ? F F
? ? ⋰ ? ⋮
? F ? ? F
F ? ? ? F


命题逻辑/零阶逻辑
基本概念 命题 命题、命题变元、命题常量
真值 真[math]\displaystyle{ \mathrm{T} }[/math]/[math]\displaystyle{ 1 }[/math]/[math]\displaystyle{ \top }[/math]、假[math]\displaystyle{ \mathrm{F} }[/math]/[math]\displaystyle{ 0 }[/math]/[math]\displaystyle{ \bot }[/math]
逻辑联结词 否定（非）[math]\displaystyle{ \lnot }[/math]、合取（且/与）[math]\displaystyle{ \land }[/math]、析取（或）[math]\displaystyle{ \lor }[/math]
蕴含（推出）[math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math]、等价（当且仅当）[math]\displaystyle{ \leftrightarrow }[/math]
命题公式 语义 真值表、指派、解释、满足
分类 重言式/永真式、偶然式/仅可满足式/可真可假式、矛盾式/永假式/不可满足式
范式 析取范式、合取范式（主析取范式、主合取范式）
语义关系 等值 等值/等价[math]\displaystyle{ = }[/math]/[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math]、置换
重言蕴含 重言蕴含[math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math]
逻辑联结词
零元
真值表 [math]\displaystyle{ \bot }[/math] [math]\displaystyle{ \top }[/math]
T F
名称 真[math]\displaystyle{ \top }[/math] 假[math]\displaystyle{ \bot }[/math]
二进制 0 1
一元
真值表 [math]\displaystyle{ p }[/math] [math]\displaystyle{ \bot }[/math] [math]\displaystyle{ \lnot p }[/math] [math]\displaystyle{ p }[/math] [math]\displaystyle{ \top }[/math]
T F T
F F T F T
名称 假[math]\displaystyle{ \bot }[/math] 否定（非）[math]\displaystyle{ \lnot }[/math] （恒等映射[math]\displaystyle{ \mathrm{id} }[/math]） 真[math]\displaystyle{ \top }[/math]
缩写 - NOT - -
二进制 0 1 2 3
二元
真值表 [math]\displaystyle{ p }[/math] [math]\displaystyle{ q }[/math] [math]\displaystyle{ \bot }[/math] [math]\displaystyle{ p \bar{\vee} q }[/math]
[math]\displaystyle{ p \downarrow q }[/math] 		[math]\displaystyle{ p \nleftarrow q }[/math] [math]\displaystyle{ \lnot p }[/math] [math]\displaystyle{ p \nrightarrow q }[/math] [math]\displaystyle{ \lnot q }[/math] [math]\displaystyle{ p \oplus q }[/math]
[math]\displaystyle{ p \nleftrightarrow q }[/math] 		[math]\displaystyle{ p \barwedge q }[/math]
[math]\displaystyle{ p \uparrow q }[/math] 		[math]\displaystyle{ p \land q }[/math] [math]\displaystyle{ p \leftrightarrow q }[/math] [math]\displaystyle{ q }[/math] [math]\displaystyle{ p \rightarrow q }[/math] [math]\displaystyle{ p }[/math] [math]\displaystyle{ p \leftarrow q }[/math] [math]\displaystyle{ p \lor q }[/math] [math]\displaystyle{ \top }[/math]
T T F T
F F T F T
F T F T F T F T F T
F F T F T F T F T F T F T F T F T
名称 假
[math]\displaystyle{ \bot }[/math] 		或非
[math]\displaystyle{ \downarrow }[/math]/[math]\displaystyle{ \bar{\vee} }[/math] 		- 否定
非
[math]\displaystyle{ \lnot }[/math] 		- 否定
非
[math]\displaystyle{ \lnot }[/math] 		互斥析取
异或
[math]\displaystyle{ \oplus }[/math]/[math]\displaystyle{ \nleftrightarrow }[/math]/[math]\displaystyle{ \veebar }[/math] 		与非
[math]\displaystyle{ \uparrow }[/math]/[math]\displaystyle{ \barwedge }[/math] 		合取
且/与
[math]\displaystyle{ \land }[/math] 		等价
当且仅当
[math]\displaystyle{ \leftrightarrow }[/math] 		投影映射
[math]\displaystyle{ \mathrm{proj}_2 }[/math] 		蕴含
推出
[math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math] 		投影映射
[math]\displaystyle{ \mathrm{proj}_1 }[/math] 		- 析取
或
[math]\displaystyle{ \lor }[/math] 		真
[math]\displaystyle{ \top }[/math]
缩写 - NOR - NOT NIMPLY NOT XOR NAND AND XNOR
EQV 		- IMPLY - - OR -
二进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
  1. ↑ 有别名 Wedge、Conjunction。
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