合取

来自GSXAB的知识库
合取
术语名称 合取
英语名称 conjunction
别名 逻辑与, logical AND
合取公式
术语名称 合取公式
英语名称 conjunctive formula
合取命题
术语名称 合取命题
英语名称 conjunctive proposition

合取(conjunction)是二元逻辑联结词，表示“命题同时为真”所对应的命题。对应自然语言中的“且”或“与”。

定义

合取
运算名称 合取
运算符号 [math]\displaystyle{ \land }[/math]
Latex \land, \wedge
运算对象 命题公式
运算元数 2
运算结果 命题公式
结构 布尔代数


对命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 、 [math]\displaystyle{ Q }[/math] ，记命题 [math]\displaystyle{ R }[/math] 满足：

  • 当 [math]\displaystyle{ P }[/math] 和 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 同时都为真时，命题 [math]\displaystyle{ R }[/math] 为真；
  • 若 [math]\displaystyle{ P }[/math] 为假， [math]\displaystyle{ R }[/math] 为假。
  • 若 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 为假， [math]\displaystyle{ R }[/math] 为假。

称这样的命题 [math]\displaystyle{ R }[/math] 为命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 与命题 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 的合取(conjunction)，记为 [math]\displaystyle{ P \land Q }[/math] ，读作 [math]\displaystyle{ P }[/math] 且 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 或 [math]\displaystyle{ P }[/math] 与 [math]\displaystyle{ Q }[/math] ([math]\displaystyle{ P }[/math] and [math]\displaystyle{ Q }[/math]) 或 [math]\displaystyle{ P }[/math] 合取 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 。 其中逻辑联结词 [math]\displaystyle{ \land }[/math] 称为合取词。

∧
字符 ∧
Unicode码位 U+2227 Logical And, Wedge, Conjunction
Latex命令序列 \land, \wedge


intersection.svg

合取的其他常见记号有 [math]\displaystyle{ P \mathop{\&} Q }[/math] 、 [math]\displaystyle{ P \times Q }[/math] 和 [math]\displaystyle{ PQ }[/math]。

主联结词为合取词的公式称为合取式(conjunctive formula)，直接子命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 和 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 称为其合取支(conjunct)； 主联结词为合取词的命题称为合取命题(conjunctive proposition)。

真值表

[math]\displaystyle{ \land }[/math] 的真值表
[math]\displaystyle{ p }[/math] [math]\displaystyle{ q }[/math] [math]\displaystyle{ p \land q }[/math]
T T T
T F F
F T F
F F F

性质

  • 布尔代数
    • 幂等律：对任意命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] ， [math]\displaystyle{ P \land P = P }[/math] 。
    • 结合律：对命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 、 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 和 [math]\displaystyle{ R }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ (P \land Q) \land R = P \land (B \land C) }[/math] 。
    • 交换律：对命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 和 [math]\displaystyle{ Q }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ P \land Q = Q \land P }[/math] 。
    • 对析取的分配律：对命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 、 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 和 [math]\displaystyle{ R }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ P \land (Q \lor R) = (P \land Q) \lor (P \land R) }[/math] 。
    • 吸收律：对命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 和 [math]\displaystyle{ Q }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ P \lor (P \land Q) = P }[/math] 、 [math]\displaystyle{ P \land (P \lor Q) = P }[/math] 。
    • 德·摩根律：对命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 和 [math]\displaystyle{ Q }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ \lnot(P \land Q) = \lnot P \lor \lnot Q }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \lnot(P \lor Q) = \lnot P \land \lnot Q }[/math] 。
    • 特殊值
      • 同一律： [math]\displaystyle{ P \land \mathrm{T} = P }[/math] 。
      • 支配律： [math]\displaystyle{ P \land \mathrm{F} = \mathrm{F} }[/math] 。

不同逻辑系统中的合取

以上为经典逻辑中的合取：合取是真值函数的，完全由真值表定义。

  • 多值逻辑、模糊逻辑中，真值的取值可能性更多，合取可能有更复杂的定义方式。

自然语言中，连词“且”、“以及”等都可能表达合取的逻辑关系，也有可能通过并列短语、并列关系分句隐含表达合取关系。 但是自然语言中这些用法往往也有隐含顺序语义，有时有其他关系，并不一定都是合取。

多元合取

对命题 [math]\displaystyle{ P_1, P_2, \dots , P_n }[/math] ，由“这些命题全部为真”所构成的命题，叫做这些命题的合取(conjunction)，记作 [math]\displaystyle{ P_1 \land P_2 \land \dots \land P_n }[/math] ，也记作 [math]\displaystyle{ \bigwedge_{i=1}^n P_i = P_1 \land P_2 \land \dots \land P_n }[/math] 。

在此基础上， 1 个命题的合取定义为命题自身， 0 个命题的合取定义为真。

多个命题的合取也可以等价地定义为这些命题两两进行合取，由于满足结合律、交换律而顺序无关，也不需要区分二元运算和多元运算。

多元合取也可以定义在可数无穷或不可数无穷命题上。

真值表

多元合取的真值特性：

  • 当且仅当所有合取项都为真时，多元合取为真；
  • 只要有一个合取项为假，多元合取就为假。
多元 [math]\displaystyle{ \land }[/math] 的真值表
[math]\displaystyle{ p_1 }[/math] [math]\displaystyle{ p_2 }[/math] [math]\displaystyle{ \dots }[/math] [math]\displaystyle{ p_n }[/math] [math]\displaystyle{ \bigwedge_{i=1}^n p_i }[/math]
T T T T T
? ? ? F F
? ? ⋰ ? ⋮
? F ? ? F
F ? ? ? F


命题逻辑/零阶逻辑
基本概念 命题 命题、命题变元、命题常量
真值 真 [math]\displaystyle{ \mathrm{T} }[/math]/[math]\displaystyle{ 1 }[/math]/[math]\displaystyle{ \top }[/math] 、假 [math]\displaystyle{ \mathrm{F} }[/math]/[math]\displaystyle{ 0 }[/math]/[math]\displaystyle{ \bot }[/math]
命题结构 命题结构 原子命题、复合命题
逻辑联结词 否定（非） [math]\displaystyle{ \lnot }[/math] 、合取（且/与） [math]\displaystyle{ \land }[/math] 、析取（或） [math]\displaystyle{ \lor }[/math]
蕴涵（推出） [math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math] 、等价（当且仅当） [math]\displaystyle{ \leftrightarrow }[/math]
命题公式 形式定义 命题语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_0 }[/math] 、命题公式
逻辑语义 指派、 Tarski 真理定义、解释、真值表、满足
语义分类 重言式/永真式、偶然式/仅可满足式/可真可假式、矛盾式/永假式/不可满足式
语义关系 重言等价/等值/等价 [math]\displaystyle{ = }[/math]/[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] 、重言蕴涵 [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math]
范式 析取范式、合取范式（主析取范式、主合取范式）
逻辑联结词
零元
真值表 [math]\displaystyle{ \bot }[/math] [math]\displaystyle{ \top }[/math]
T F
名称 真 [math]\displaystyle{ \top }[/math] 假 [math]\displaystyle{ \bot }[/math]
二进制编号 0 1
编号 0 1
一元
真值表 [math]\displaystyle{ p }[/math] [math]\displaystyle{ \bot }[/math] [math]\displaystyle{ \lnot p }[/math] [math]\displaystyle{ p }[/math] [math]\displaystyle{ \top }[/math]
T F T
F F T F T
名称 假 [math]\displaystyle{ \bot }[/math] 否定（非） [math]\displaystyle{ \lnot }[/math] （恒等映射 [math]\displaystyle{ \mathrm{id} }[/math]） 真 [math]\displaystyle{ \top }[/math]
缩写 - NOT - -
二进制编号 00 01 10 11
编号 0 1 2 3
二元
真值表 [math]\displaystyle{ p }[/math] [math]\displaystyle{ q }[/math] [math]\displaystyle{ \bot }[/math] [math]\displaystyle{ p \bar{\vee} q }[/math]
[math]\displaystyle{ p \downarrow q }[/math] 		[math]\displaystyle{ p \nleftarrow q }[/math] [math]\displaystyle{ \lnot p }[/math] [math]\displaystyle{ p \nrightarrow q }[/math] [math]\displaystyle{ \lnot q }[/math] [math]\displaystyle{ p \oplus q }[/math]
[math]\displaystyle{ p \nleftrightarrow q }[/math] 		[math]\displaystyle{ p \barwedge q }[/math]
[math]\displaystyle{ p \uparrow q }[/math] 		[math]\displaystyle{ p \land q }[/math] [math]\displaystyle{ p \leftrightarrow q }[/math] [math]\displaystyle{ q }[/math] [math]\displaystyle{ p \rightarrow q }[/math] [math]\displaystyle{ p }[/math] [math]\displaystyle{ p \leftarrow q }[/math] [math]\displaystyle{ p \lor q }[/math] [math]\displaystyle{ \top }[/math]
T T F T
F F T F T
F T F T F T F T F T
F F T F T F T F T F T F T F T F T
名称 假
[math]\displaystyle{ \bot }[/math] 		或非
[math]\displaystyle{ \downarrow }[/math]/[math]\displaystyle{ \bar{\vee} }[/math] 		- 否定
非
[math]\displaystyle{ \lnot }[/math] 		- 否定
非
[math]\displaystyle{ \lnot }[/math] 		互斥析取
异或
[math]\displaystyle{ \oplus }[/math]/[math]\displaystyle{ \nleftrightarrow }[/math]/[math]\displaystyle{ \veebar }[/math] 		与非
[math]\displaystyle{ \uparrow }[/math]/[math]\displaystyle{ \barwedge }[/math] 		合取
且/与
[math]\displaystyle{ \land }[/math] 		等价
当且仅当
[math]\displaystyle{ \leftrightarrow }[/math] 		投影映射
[math]\displaystyle{ \mathrm{proj}_2 }[/math] 		蕴涵
推出
[math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math] 		投影映射
[math]\displaystyle{ \mathrm{proj}_1 }[/math] 		- 析取
或
[math]\displaystyle{ \lor }[/math] 		真
[math]\displaystyle{ \top }[/math]
缩写 - NOR - NOT NIMPLY NOT XOR NAND AND XNOR
EQV 		- IMPLY - - OR -
二进制编号 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
编号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
检索自“https://knowledge.gsxab.top/index.php?title=合取&oldid=6112”