合取

合取
术语名称	合取
英语名称	conjunction
别名	逻辑与, logical AND

合取(conjunction)是对两个或多个命题，同时为真所对应的命题。对应通常意义上的且或与。

定义

合取
运算名称	合取
运算符号	[math]\displaystyle{ \land }[/math]
Latex	`\land`, `\wedge`
运算对象	命题公式
运算元数	2
运算结果	命题公式
结构	布尔代数

对命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 、 [math]\displaystyle{ Q }[/math] ，记命题 [math]\displaystyle{ R }[/math] 满足：

仅当 [math]\displaystyle{ P }[/math] 为真同时 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 也为真时， [math]\displaystyle{ R }[/math] 为真；
若 [math]\displaystyle{ P }[/math] 为假， [math]\displaystyle{ R }[/math] 为假。
若 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 为假， [math]\displaystyle{ R }[/math] 为假。

称这样的命题 [math]\displaystyle{ R }[/math] 为命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 、 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 的合取(conjunction)，记为 [math]\displaystyle{ P \land Q }[/math] ，读作[math]\displaystyle{ P }[/math] 且 [math]\displaystyle{ Q }[/math]/[math]\displaystyle{ P }[/math] 与 [math]\displaystyle{ Q }[/math]([math]\displaystyle{ P }[/math] and [math]\displaystyle{ Q }[/math]) 或[math]\displaystyle{ P }[/math] 合取 [math]\displaystyle{ Q }[/math]。其中逻辑联结词 [math]\displaystyle{ \land }[/math] 称为合取词。

∧
字符	∧
Unicode码位	`U+2227` Logical And^[1]
Latex命令序列	`\land`, `\wedge`

有时也会记作 [math]\displaystyle{ P \& Q }[/math] 、[math]\displaystyle{ P \times Q }[/math] 或 [math]\displaystyle{ PQ }[/math]。

主联结词为合取词的公式称为合取式(conjunctive formula)，命题称为合取命题(conjunctive proposition)。

真值表

[math]\displaystyle{ p }[/math]	[math]\displaystyle{ q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \land q }[/math]
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

性质

布尔代数的运算。

运算性质：
- 结合律：对命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 、 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 和 [math]\displaystyle{ R }[/math]，有 [math]\displaystyle{ (P \land Q) \land R = P \land (B \land C) }[/math]。
- 交换律：对命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 和 [math]\displaystyle{ Q }[/math]，有 [math]\displaystyle{ P \land Q = Q \land P }[/math]。
- 分配律：对命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 、 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 和 [math]\displaystyle{ R }[/math]，有 [math]\displaystyle{ P \land (Q \lor R) = (P \land Q) \lor (P \land R) }[/math]。
- 吸收律：对命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 和 [math]\displaystyle{ Q }[/math]，有 [math]\displaystyle{ P \lor (P \land Q) = P }[/math]、[math]\displaystyle{ P \land (P \lor Q) = P }[/math]。
- 德·摩根律：对命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 和 [math]\displaystyle{ Q }[/math]，有 [math]\displaystyle{ \lnot(P \land Q) = \lnot P \lor \lnot Q }[/math]、[math]\displaystyle{ \lnot(P \lor Q) = \lnot P \land \lnot Q }[/math]。
特殊值：
- [math]\displaystyle{ P \land P = P }[/math]
- [math]\displaystyle{ P \land \mathrm{T} = P }[/math]
- [math]\displaystyle{ P \land \mathrm{F} = \mathrm{F} }[/math]

多元合取

对命题 [math]\displaystyle{ P_1, P_2, \dots , P_n }[/math] ，由所有命题全部为真所构成的命题，叫做这些命题的合取(conjunction)，记作 [math]\displaystyle{ P_1 \land P_2 \land \dots \land P_n }[/math]。也记作 [math]\displaystyle{ \bigwedge_{i=1}^n P_i = P_1 \land P_2 \land \dots \land P_n }[/math]。

在此基础上，1个命题的合取定义为命题自身，0个命题的合取定义为真（vacuous truth）。

真值表

[math]\displaystyle{ p_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ p_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ \dots }[/math]	[math]\displaystyle{ p_n }[/math]	[math]\displaystyle{ \bigwedge_{i=1}^n p_i }[/math]
T	T	T	T	T
?	?	?	F	F
?	?	⋰	?	⋮
?	F	?	?	F
F	?	?	?	F

命题逻辑/零阶逻辑
基本概念	命题	命题、命题变元、命题常量
基本概念	真值	真[math]\displaystyle{ \mathrm{T} }[/math]/[math]\displaystyle{ 1 }[/math]/[math]\displaystyle{ \top }[/math]、假[math]\displaystyle{ \mathrm{F} }[/math]/[math]\displaystyle{ 0 }[/math]/[math]\displaystyle{ \bot }[/math]
逻辑联结词	否定（非）[math]\displaystyle{ \lnot }[/math]、合取（且/与）[math]\displaystyle{ \land }[/math]、析取（或）[math]\displaystyle{ \lor }[/math]
逻辑联结词	蕴含（推出）[math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math]、等价（当且仅当）[math]\displaystyle{ \leftrightarrow }[/math]
命题公式	语义	真值表、指派、解释、满足
	分类	重言式/永真式、偶然式/仅可满足式/可真可假式、矛盾式/永假式/不可满足式
	范式	析取范式、合取范式（主析取范式、主合取范式）
语义关系	等值	等值/等价[math]\displaystyle{ = }[/math]/[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math]、置换
语义关系	重言蕴含	重言蕴含[math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math]

逻辑联结词
零元
真值表			[math]\displaystyle{ \bot }[/math]								[math]\displaystyle{ \top }[/math]
真值表			T								F
名称			真[math]\displaystyle{ \top }[/math]								假[math]\displaystyle{ \bot }[/math]
二进制			0								1
一元
真值表	[math]\displaystyle{ p }[/math]		[math]\displaystyle{ \bot }[/math]				[math]\displaystyle{ \lnot p }[/math]				[math]\displaystyle{ p }[/math]				[math]\displaystyle{ \top }[/math]
	T		F								T
	F		F				T				F				T
名称			假[math]\displaystyle{ \bot }[/math]				否定（非）[math]\displaystyle{ \lnot }[/math]				（恒等映射[math]\displaystyle{ \mathrm{id} }[/math]）				真[math]\displaystyle{ \top }[/math]
缩写			-				NOT				-				-
二进制			0				1				2				3
二元
真值表	[math]\displaystyle{ p }[/math]	[math]\displaystyle{ q }[/math]	[math]\displaystyle{ \bot }[/math]	[math]\displaystyle{ p \bar{\vee} q }[/math] [math]\displaystyle{ p \downarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \nleftarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ \lnot p }[/math]	[math]\displaystyle{ p \nrightarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ \lnot q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \oplus q }[/math] [math]\displaystyle{ p \nleftrightarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \barwedge q }[/math] [math]\displaystyle{ p \uparrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \land q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \leftrightarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \rightarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p }[/math]	[math]\displaystyle{ p \leftarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \lor q }[/math]	[math]\displaystyle{ \top }[/math]
	T	T	F								T
	T	F	F				T				F				T
	F	T	F		T		F		T		F		T		F		T
	F	F	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T
名称			假 [math]\displaystyle{ \bot }[/math]	或非 [math]\displaystyle{ \downarrow }[/math]/[math]\displaystyle{ \bar{\vee} }[/math]	-	否定非 [math]\displaystyle{ \lnot }[/math]	-	否定非 [math]\displaystyle{ \lnot }[/math]	互斥析取异或 [math]\displaystyle{ \oplus }[/math]/[math]\displaystyle{ \nleftrightarrow }[/math]/[math]\displaystyle{ \veebar }[/math]	与非 [math]\displaystyle{ \uparrow }[/math]/[math]\displaystyle{ \barwedge }[/math]	合取且/与 [math]\displaystyle{ \land }[/math]	等价当且仅当 [math]\displaystyle{ \leftrightarrow }[/math]	投影映射 [math]\displaystyle{ \mathrm{proj}_2 }[/math]	蕴含推出 [math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math]	投影映射 [math]\displaystyle{ \mathrm{proj}_1 }[/math]	-	析取或 [math]\displaystyle{ \lor }[/math]	真 [math]\displaystyle{ \top }[/math]
缩写			-	NOR	-	NOT	NIMPLY	NOT	XOR	NAND	AND	XNOR EQV	-	IMPLY	-	-	OR	-
二进制			0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15

↑ 有别名 Wedge、Conjunction。

[1] 有别名 Wedge、Conjunction。

[1]