积偏序
| 积偏序 | |
|---|---|
| 术语名称 | 积偏序 |
| 英语名称 | product order |
积偏序(product order)是对多个偏序集的笛卡尔积定义的一种序关系，两个元组间序关系成立当且仅当全部对应分量间序关系成立。
定义
| 积偏序 | |
|---|---|
| 关系名称 | 积偏序 |
| 关系符号 | |
| Latex | |
| 关系对象 | 元组 |
| 关系元数 | 2 |
| 类型 | 偏序 |
对偏序集 [math]\displaystyle{ (A,\preceq_A) }[/math] 和 [math]\displaystyle{ (B,\preceq_B) }[/math] ， 可定义 [math]\displaystyle{ (A\times B) }[/math] 上的关系 [math]\displaystyle{ \preceq }[/math] 满足：
- [math]\displaystyle{ (a_1,b_1)\preceq (a_2,b_2) }[/math] 当且仅当 [math]\displaystyle{ a_1 \preceq_A a_2 \land b_1 \preceq_B b_2 }[/math] 。
类似地，对多个偏序集或可数个偏序集 [math]\displaystyle{ (A_1, \preceq_1), (A_2,\preceq_2), \cdots }[/math] 也类似定义 [math]\displaystyle{ \prod_{i=1}^\infty A_i }[/math] 上的关系 [math]\displaystyle{ \preceq }[/math] 满足：
- [math]\displaystyle{ (a_{l1},a_{l2},\cdots) \preceq (a_{r1},a_{r2},\cdots) }[/math] 当且仅当 [math]\displaystyle{ \bigwedge_{i=1}^\infty a_{li} \preceq_i a_{ri} }[/math] 。
性质
积偏序通常是一个偏序：
- 全部小于等于时， [math]\displaystyle{ a_1 \preceq_A a_2 \land b_1 \preceq_B b_2 \leftrightarrow (a_1,b_1)\preceq (a_2,b_2) }[/math]
- 全部大于等于时， [math]\displaystyle{ a_2 \preceq_A a_1 \land b_2 \preceq_B b_1 \leftrightarrow (a_1,b_1)\preceq (a_2,b_2) }[/math]
- 两个元素间有大有小时， [math]\displaystyle{ (a_1,b_1) }[/math] 和 [math]\displaystyle{ (a_2,b_2) }[/math] 之间无法比较。