笛卡尔积

笛卡尔积
术语名称	笛卡尔积
英语名称	Cartesian product
别名	直积

笛卡尔积(Cartesian product)是对两个或多个集合，由所有元素依次属于这些集合的元组构成的新的集合。

定义

笛卡尔积
运算名称	笛卡尔积
运算符号	[math]\displaystyle{ \times }[/math]
Latex	\times
运算对象	集合
运算元数	2
运算结果	集合

对集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 、 [math]\displaystyle{ B }[/math] ，由所有第一元素属于集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 且第二元素属于集合 [math]\displaystyle{ B }[/math] 的有序对所构成的集合，叫做集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 与集合 [math]\displaystyle{ B }[/math] 的笛卡尔积(Cartesian product)，也称为直积(direct product)，记作 [math]\displaystyle{ A \times B }[/math]。即： [math]\displaystyle{ A \times B = \left\{ (x,y) \mid x \in A \land y \in B \right\} }[/math]。

×
字符	×
Unicode码位	U+00D7 Multiplication sign
Latex命令序列	\times

性质

• 不满足结合律：对于任意集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 、 [math]\displaystyle{ B }[/math] 和 [math]\displaystyle{ C }[/math]，通常有 [math]\displaystyle{ (A \times B) \times C \neq A \times (B \times C) }[/math]。 这是由于两侧的元素分别为 [math]\displaystyle{ ((a, b), c) }[/math] 和 [math]\displaystyle{ (a, (b, c)) }[/math] ，不同。
  • 除非有一个是空集，则等号两侧都是空集。
• 不满足交换律：对于任意集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 和 [math]\displaystyle{ B }[/math]，通常有 [math]\displaystyle{ A \times B \neq B \times A }[/math]。
  • 除非 [math]\displaystyle{ A = B }[/math] ，此时两侧是相同的。
• 分配律：对于任意集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 、 [math]\displaystyle{ B }[/math]、 [math]\displaystyle{ C }[/math]、 [math]\displaystyle{ D }[/math]，有 [math]\displaystyle{ (A \cap B) \times (C \cap D) = (A \times B) \cap (C \times D) }[/math]。
  • 如果其中一个交并中涉及的两个集合是相同的，则符合分配性：[math]\displaystyle{ A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C) }[/math] 、 [math]\displaystyle{ A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C) }[/math]，同时也有[math]\displaystyle{ A \times (B \setminus C) = (A \times B) \setminus (A \times C) }[/math]。
• 补集：[math]\displaystyle{ (A\times B)^\complement =\left(A^\complement \times B^\complement \right) \cup \left(A^\complement \times B \right) \cup \left( A \times B^\complement \right) }[/math]。
• 特殊值：
  • [math]\displaystyle{ A \times \varnothing = \varnothing }[/math]
• 包含关系：
  • [math]\displaystyle{ A \times B \subseteq C \times D \Leftrightarrow (A \subseteq C \land B \subseteq D) \lor A = \varnothing \lor B = \varnothing }[/math]

多元笛卡尔积

对集合 [math]\displaystyle{ A_1, A_2, \dots , A_n }[/math] ，由所有元素依次属于这些集合的元组所构成的集合，叫做这些集合的笛卡尔积(Cartesian product)，记作 [math]\displaystyle{ A_1 \times A_2 \times \dots \times A_n }[/math]。即 [math]\displaystyle{ A_1 \times A_2 \times \dots \times A_n = \left\{ (x_1,x_2,\dots,x_n) \mid x_1 \in A_1 \land x_2 \in A_2 \land\dots\land x_n\in A_n\right\} }[/math]。

按相同方式可以定义，1个集合的笛卡尔积定义为集合自身每个元素对应成1-元组的 [math]\displaystyle{ \{(x)|x \in A\} }[/math]，0个集合的并集定义为只有一个0-元组的单元素集 [math]\displaystyle{ \{()\} }[/math]。

多个集合的并集与依次并集相同，所以不需要做区分。

笛卡尔幂

对集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] ，自身的 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元笛卡尔积 [math]\displaystyle{ A \times A \times \dots \times A }[/math] 可以简写为 [math]\displaystyle{ A^n }[/math] ，称为集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 的 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元([math]\displaystyle{ n }[/math]-ary)笛卡尔幂(Catesian power)。

指标集上的笛卡尔积

对指标集形式的集族 [math]\displaystyle{ A = \{A_i\}_{i\in I} }[/math] ，定义集合 [math]\displaystyle{ \{f : I\to \bigcup_{i\in I} A_i \mid \forall i \in I, f(i) \in A_i \} }[/math] ，叫做集族中全体集合的笛卡尔积(disjoint union)，记作 [math]\displaystyle{ \prod_{i\in I} A_i = \prod \{A_i\}_{i \in I} }[/math] 。

注：一般来说，有限元笛卡尔积依据一阶逻辑上定义有序对和元组直接定义，映射用二元笛卡尔积定义，指标集用映射定义。所以虽然指标集上的笛卡尔积和有限的是类似概念但不会使用统一的定义。

集合
特殊集合	空集[math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、全集
关系	成员关系/属于[math]\displaystyle{ \in }[/math]
	包含关系/子集/超集[math]\displaystyle{ \subseteq }[/math]、真包含关系/真子集/真超集[math]\displaystyle{ \subset }[/math]、相等关系[math]\displaystyle{ = }[/math]
运算	基础运算	交集[math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并集[math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补集[math]\displaystyle{ \bullet^\complement }[/math]（差集[math]\displaystyle{ \setminus }[/math]）
	复合运算	对称差集[math]\displaystyle{ \triangle }[/math]
	笛卡尔积运算	笛卡尔积[math]\displaystyle{ \times }[/math]、笛卡尔幂[math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]、幂集[math]\displaystyle{ \mathcal{P}(\bullet)/2^\bullet }[/math]、映射的集合[math]\displaystyle{ \bullet^\bullet }[/math]
	不交并运算	不交并[math]\displaystyle{ \sqcup }[/math]
	商运算	商集[math]\displaystyle{ \bullet/\sim }[/math]