换底公式

换底公式
术语名称	换底公式
英语名称	change of base formula
别名	change of base rule

换底公式(change of base formula)是对数运算的一个性质，指出了将任意底对数转化为指定底对数的方法。

定理

对任意对数 [math]\displaystyle{ \log_b N }[/math] 以及任意底数 [math]\displaystyle{ k }[/math] 有：

[math]\displaystyle{ \log_b N = \frac{\log_k N}{\log_k b} }[/math]

常见应用

底数取 10 、 e 、 2 时，可以得到：

[math]\displaystyle{ \log_b N = \frac{\lg N}{\lg b} = \frac{\ln N}{\ln b} = \frac{\operatorname{lb} N}{\operatorname{lb} b} }[/math]

这个方法常用于将任意对数的计算转换为使用同一个容易计算的底的两次对数计算。

推论

[math]\displaystyle{ \log_b a = \frac{1}{\log_a b} }[/math]

[math]\displaystyle{ \log_{a_1} a_2 \log_{a_2} a_3 \dots \log_{a_{n-1}} a_n = \log_{a_1} a_n }[/math]

[math]\displaystyle{ \log _{b_{1}}a_{1}\,\cdots \,\log _{b_{n}}a_{n}=\log _{b_{\pi (1)}}a_{1}\,\cdots \,\log _{b_{\pi (n)}}a_{n} }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ \pi }[/math] 是 1 到 [math]\displaystyle{ n }[/math] 的任意排列。