算术基本定理

算术基本定理
术语名称	算术基本定理
英语名称	fundamental theorem of arithmetic
别名	唯一分解定理, unique factorization theorem, 质因数分解定理, prime factorization theorem

算术基本定理(fundamental theorem of arithmetic)指大于 1 的整数总能分解成质数的乘积，且在不计顺序的意义下唯一。

算术基本定理体现了质数的本质性质，把数的乘除问题转化成其标准分解式之间的问题，且算术基本定理可以进一步推广到一些代数结构上。

定理

大于 1 的任意整数 [math]\displaystyle{ n }[/math] 都能被表示为质数乘积的形式，

[math]\displaystyle{ n = p_1 p_2 \dots p_r }[/math]

其中 [math]\displaystyle{ p_1, p_2, \dots, p_n }[/math] 是质数。 同时，如果不计质因数 [math]\displaystyle{ p_1, p_2, \dots, p_r }[/math] 的次序，这一分解表示唯一。

注：将质数从小到大排列并将相同质数合并的 [math]\displaystyle{ n = p_1^{n_1} p_2^{n_2} \dots p_m^{n_m} }[/math] 被称为标准质因数分解或标准分解。

算术基本引理

以下命题和算术基本定理等价。

对质数 [math]\displaystyle{ p }[/math] 和整数 [math]\displaystyle{ a_1, a_2 }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ p \mid a_1 a_2 }[/math] ，则有 [math]\displaystyle{ p \mid a_1 }[/math] 和 [math]\displaystyle{ p \mid a_2 }[/math] 至少有一个成立。

一般地，对质数 [math]\displaystyle{ p }[/math] 和整数 [math]\displaystyle{ a_1, a_2, \dots, a_n }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ p \mid a_1 a_2 \dots a_n }[/math] ，则有 [math]\displaystyle{ p \mid a_1 }[/math] 、 [math]\displaystyle{ p \mid a_2 }[/math] 、……、 [math]\displaystyle{ p \mid a_n }[/math] 至少有一个成立。

整除理论
整除关系	整除、倍数、因数	带余除法
正整数的分类	1、质数、合数
	质数测试	试除法、埃氏筛、线性筛
最大公约数理论	公倍数、最小公倍数 [math]\displaystyle{ \operatorname{lcm} }[/math]、公因数、最大公因数 [math]\displaystyle{ \operatorname{gcd} }[/math]	辗转相除法
	互质
算术基本定理	算术基本定理	标准质因数分解

琐事

命名

“算术基本定理”中的“算术(arithmetic)”一词是数论的旧称。