正规化子
| 正规化子 | |
|---|---|
| 术语名称 | 正规化子 |
| 英语名称 | normalizer |
正规化子(normalizer)指群中与对子集左右陪集相等的全部元素所构成的集合。
正规化子是群的子群，也是包含指定子集并使其成为一个正规子群的最大子群。
定义
对群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 及子集 [math]\displaystyle{ S\subseteq G }[/math] ，记集合 [math]\displaystyle{ \{g\in G \mid g S = S g)\} }[/math] ，称为群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 中子集 [math]\displaystyle{ S }[/math] 的正规化子(normalizer)，记为 [math]\displaystyle{ N_G(S) }[/math]。
注：如果不仅要求集合相等，而是元素对应相同时，为中心化子。单元素集的正规化子，定义等价于中心化子。
性质
[math]\displaystyle{ S \lhr N_G(S) }[/math] ，且对任意 [math]\displaystyle{ N_G(S) \lt H \leq G }[/math] 都不再有 [math]\displaystyle{ S \lhr H }[/math]
与 [math]\displaystyle{ S }[/math] 共轭的子群数就是指数 [math]\displaystyle{ [G:N_G(S)] }[/math] 。因此有限时一定被 [math]\displaystyle{ [G:H] }[/math] 整除。