群
| 群 | |
|---|---|
| 术语名称 | 群 |
| 英语名称 | group |
群(group)指一个集合和其上一个有结合性的二元运算及其幺元构成的代数系统。要求二元运算封闭、可结合、有幺元、所有元素有逆元。
对称现象所涉及的变换都有这样的关系，都可以抽象成群，因此我们说“群是对称”。
定义
形式化定义
对非空集合 [math]\displaystyle{ G }[/math] 及其上一个二元运算 [math]\displaystyle{ \cdot }[/math] ，若其满足以下群公理(group axioms)：
- 封闭性(closure)：[math]\displaystyle{ (\forall g, h \in G) (g \cdot h \in G) }[/math] ；
- 结合性(associativity)：[math]\displaystyle{ (\forall g,h,k \in G) ((g \cdot h) \cdot k = g \cdot (h \cdot k)) }[/math] ；
- 有幺元(identity element)：[math]\displaystyle{ (\exists e \in G) (\forall g \in G) (e \cdot g = g \cdot e = g) }[/math] ；
- 有逆元(inverse element)：[math]\displaystyle{ (\forall g \in G) (\exists h \in G) (g \cdot h = h \cdot g = e) }[/math] 。
则构成的代数系统 [math]\displaystyle{ \langle G, \cdot, e \rangle }[/math] （或省略幺元写作 [math]\displaystyle{ \langle G,\cdot \rangle }[/math] ）称为一个群(group)。也称集合 [math]\displaystyle{ G }[/math] 关于运算 [math]\displaystyle{ \cdot }[/math] 构成一个群。
注：根据幺元的性质，存在则必然唯一，因此可以没有歧义地写成一个元素 [math]\displaystyle{ e }[/math] ；类似地，逆元也可以没有歧义地写成元素 [math]\displaystyle{ g^{-1} }[/math] 。
注：可以省略幺元及运算写作 [math]\displaystyle{ G }[/math] 。
注：封闭性有时不被显式列出，用“集合上的运算”这一描述暗示封闭性。
- 群上的运算 [math]\displaystyle{ \cdot }[/math] 经常被称为群上的乘法(multiplication)，有时记号上会省略 [math]\displaystyle{ g \cdot h }[/math] 中的点写成 [math]\displaystyle{ gh }[/math] （部分特定上下文为 [math]\displaystyle{ hg }[/math] ）。
- 同一元素的乘积 [math]\displaystyle{ \underbrace{g \dots g}_{n} }[/math] 可以写成幂(power) [math]\displaystyle{ g^n }[/math] ，同样地 [math]\displaystyle{ g^{-n} = \underbrace{g^{-1}\dots g^{-1}}_{n} }[/math] 。
- 元素列 [math]\displaystyle{ g_1, \dots, g_n }[/math] 的累乘 [math]\displaystyle{ g_1 \dots g_n }[/math] 可以写成 [math]\displaystyle{ \prod_{i=1}^n g_i }[/math] 。
- 但是，如果一个群是交换群，往往使用加法而非乘法表示群运算，这些记号都会随之改变。
第二定义
若把有幺元和有逆元放宽到仅有左（右）幺元和左（右）逆元，则能证明与以上定义等价。
但如果只有左（右）幺元和右（左）逆元，则不等价，不一定构成群。
性质描述
- 每个元素都可逆的幺半群称为群。
- 半群上满足 [math]\displaystyle{ ax=b }[/math] 与 [math]\displaystyle{ bx=a }[/math] 均有解，则是群。
- 有限半群上满足左、右消去律，则是群。
举例
- 整数数集上的加法，其幺元为 0 ，即 [math]\displaystyle{ \langle \mathbb{Z}, +, 0 \rangle }[/math] 。
- 非零整数集上的乘法，其幺元为 1 ，即 [math]\displaystyle{ \langle \mathbb{Z}^{*}, \times, 1 \rangle }[/math] 。
抽象地，定义任意自然数个元素按顺序的多元累积对应幺半群，而这些元素可逆时就会对应群。 旋转操作、变换操作就是典型的情况。
结构表示
直接性质
- 由于逆元存在，群中总是满足消去律。