中心化子
| 中心化子 | |
|---|---|
| 术语名称 | 中心化子 |
| 英语名称 | centralizer |
中心化子(centralizer)指群中与某元素可交换的全部元素所构成的集合。
中心化子是群的子群。
定义
对群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 及元素 [math]\displaystyle{ a\in G }[/math] ，记集合 [math]\displaystyle{ \{g\in G \mid ga = ag\} }[/math] ，称为群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 中元素 [math]\displaystyle{ a }[/math] 的中心化子(centralizer)，同时也是正规化子(normalizer)，记为 [math]\displaystyle{ Z_G(a) }[/math]。
对群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 及子集 [math]\displaystyle{ S\subseteq G }[/math] ，记集合 [math]\displaystyle{ \{g\in G \mid (\forall a\in S)(ga = ag)\} }[/math] ，称为群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 中子集 [math]\displaystyle{ S }[/math] 的中心化子(centralizer)，记为 [math]\displaystyle{ C_G(S) }[/math]。
注：在不止一个元素时，若不要求元素分别对应，而是整体集合相同时，为正规化子。
性质
交换群中任意元素的中心化子都是群自身。
中心化子总是子群，也是正规化子，同时也可以看作共轭作用下的稳定子群。
集合的中心化子是其中每个元素中心化子的交集。群的中心在每一个元素的中心化子中，且是群自身作为子集时的中心化子。