素理想
| 素理想 | |
|---|---|
| 术语名称 | 素理想 |
| 英语名称 | prime ideal |
素理想(prime ideal)指环的真理想中每个分解都至少有一个在理想中的元素。
定义
对环 [math]\displaystyle{ \langle R,+,\cdot \rangle }[/math] 及其一个真理想 [math]\displaystyle{ I\subsetneq R }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ (\forall a,b \in R)(ab \in I \rightarrow a\in I\lor b\in I) }[/math] ，则称子集 [math]\displaystyle{ I }[/math] 是环 [math]\displaystyle{ R }[/math] 中的一个素理想(prime ideal)。
注：相当于 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math] 中关于质数的 [math]\displaystyle{ p\mid ab \rightarrow p\mid a \lor p\mid b }[/math] 。
等价定义
对环 [math]\displaystyle{ \langle R,+,\cdot \rangle }[/math] 及其一个真理想 [math]\displaystyle{ I \neq (1) }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ R/I }[/math] 是一个整环，则称理想 [math]\displaystyle{ I }[/math] 是环 [math]\displaystyle{ R }[/math] 中的一个素理想(prime ideal)。