限制、延拓（映射）
| 限制 | |
|---|---|
| 术语名称 | 限制 |
| 英语名称 | restriction |
| 延拓 | |
|---|---|
| 术语名称 | 延拓 |
| 英语名称 | extension |
限制(restriction)指限制一个映射的定义域到其某个子集，仅保留自变量在这个子集内的部分。相反的称为延拓(extension)。
定义
| 限制映射/限制函数 | |
|---|---|
| 运算名称 | 限制映射/限制函数 |
| 运算符号 | [math]\displaystyle{ \bullet|_\bullet }[/math] |
| Latex | \mid_
|
| 运算对象 | 映射, 集合 |
| 运算元数 | 2 |
| 运算结果 | 映射
|
对映射 [math]\displaystyle{ f: X\to Y }[/math] 及定义域的一个子集 [math]\displaystyle{ A \subseteq X }[/math] ，记映射 [math]\displaystyle{ f|_A : A \to Y; x \mapsto f(x) }[/math] ，称为 [math]\displaystyle{ f }[/math] 在 [math]\displaystyle{ A }[/math] 上的限制(restriction of [math]\displaystyle{ f }[/math] to [math]\displaystyle{ A }[/math])。
对映射 [math]\displaystyle{ f: A \to Y }[/math] 和 [math]\displaystyle{ g: B \to Y }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ A \subseteq B }[/math] 及 [math]\displaystyle{ \forall x\in A, f(x)=g(x) }[/math] ， 称 [math]\displaystyle{ g }[/math] 是 [math]\displaystyle{ f }[/math] 在 [math]\displaystyle{ B }[/math] 上的一个延拓(an extension of [math]\displaystyle{ f }[/math] to [math]\displaystyle{ B }[/math])。
注意：显然，绝大多数情况下，即使给定新定义域，延拓也并不是唯一的。
性质
- 限制不改变定义域则不改变函数 [math]\displaystyle{ f|_X = f }[/math]
- 多次限制相当于直接限制到位 [math]\displaystyle{ (f|_A)|_B = f|_B }[/math]
- 限制相当于用包含映射进行复合以改变定义域 [math]\displaystyle{ f|_A = f \circ \iota_{A\hookrightarrow X} }[/math]