限制、延拓（映射）

限制
术语名称	限制
英语名称	restriction

延拓
术语名称	延拓
英语名称	extension

限制(restriction)指限制一个映射的定义域到其某个子集，仅保留自变量在这个子集内的部分。相反的称为延拓(extension)。由于延拓过程扩展映射的定义域，一定要向原来的映射中添加更多的对应关系，无法保证唯一性。在不同领域往往有多种不同的延拓规则以保证特定性质继续成立。

定义

限制映射/限制函数
运算名称	限制映射/限制函数
运算符号	[math]\displaystyle{ \bullet|_\bullet }[/math]
Latex	\mid_
运算对象	映射, 集合
运算元数	2
运算结果	映射

对映射 [math]\displaystyle{ f: X\to Y }[/math] 及定义域的一个子集 [math]\displaystyle{ A \subseteq X }[/math] ，记映射 [math]\displaystyle{ f|_A : A \to Y; x \mapsto f(x) }[/math] ，称为 [math]\displaystyle{ f }[/math] 在 [math]\displaystyle{ A }[/math] 上的限制(restriction of [math]\displaystyle{ f }[/math] to [math]\displaystyle{ A }[/math] )。

反过来，对映射 [math]\displaystyle{ f: A \to Y }[/math] 和 [math]\displaystyle{ g: B \to Y }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ A \subseteq B }[/math] 及 [math]\displaystyle{ \forall x\in A, f(x)=g(x) }[/math] ， 称 [math]\displaystyle{ g }[/math] 是 [math]\displaystyle{ f }[/math] 在 [math]\displaystyle{ B }[/math] 上的一个延拓(an extension of [math]\displaystyle{ f }[/math] to [math]\displaystyle{ B }[/math] )。

注意：显然，绝大多数情况下，即使给定新定义域，延拓也并不是唯一的。

性质

• 限制不改变定义域则不改变函数 [math]\displaystyle{ f|_X = f }[/math] 。
• 多次限制相当于直接一步限制到位 [math]\displaystyle{ (f|_A)|_B = f|_B }[/math] 。
• 限制相当于用包含映射进行复合以改变定义域 [math]\displaystyle{ f|_A = f \circ \iota_{A\hookrightarrow X} }[/math] 。
• 空映射是任意映射在空集上的限制。

映射
定义属性	定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math] 、陪域、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]
特殊映射	空映射、常值映射、恒等映射 [math]\displaystyle{ \mathrm{id}_\bullet }[/math] 、包含映射 [math]\displaystyle{ \iota }[/math]
类型	单射、满射、双射
运算	复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math] 、迭代 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math] 、逆映射（反函数） [math]\displaystyle{ \bullet^{-1} }[/math] 、限制、延拓