陪集
| 陪集 | |
|---|---|
| 术语名称 | 陪集 |
| 英语名称 | coset |
| 左陪集 | |
|---|---|
| 术语名称 | 左陪集 |
| 英语名称 | left coset |
| 右陪集 | |
|---|---|
| 术语名称 | 右陪集 |
| 英语名称 | right coset |
陪集(coset)指一个群的子群通过与群中每个元素运算得到的子集。全部这样的子集划分这个群。
定义
对群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 及其子群 [math]\displaystyle{ H \leq G }[/math] ，记 [math]\displaystyle{ gH = \{gh \mid g\in G \land h\in H\} }[/math] 以及 [math]\displaystyle{ Hg = \{hg \mid g\in G \land h \in H\} }[/math] ，分别称为群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 中子群 [math]\displaystyle{ H }[/math] 的一个左陪集(left coset of [math]\displaystyle{ H }[/math] in [math]\displaystyle{ G }[/math] )和一个右陪集(right coset of [math]\displaystyle{ H }[/math] in [math]\displaystyle{ G }[/math])，统称陪集(coset)，其中元素 [math]\displaystyle{ g }[/math] 称为陪集 [math]\displaystyle{ gH }[/math] 和陪集 [math]\displaystyle{ Hg }[/math] 的陪集代表元(coset representative)。
性质
群中两元素 [math]\displaystyle{ g_1, g_2 }[/math] 具有相同左（右）陪集 [math]\displaystyle{ g_1 H = g_2 H }[/math] （ [math]\displaystyle{ H g_1 = H g_2 }[/math] ）是一个等价关系，也就是群中的左（右）同余关系。
事实上，每个子群总是对应着一左一右的两个这样的同余关系，所划分的同余类就是全体左右陪集。一个左（右）同余关系也对应着一个子群所划分的全体左（右）陪集，其子群就是幺元所在的同余类。
陪集表示 [math]\displaystyle{ gH }[/math] 中的元素 [math]\displaystyle{ g }[/math] 是这个陪集中的元素，因此相当于等价类中的代表元，因此也称为陪集的代表元。
子集本身 [math]\displaystyle{ H=eH=He }[/math] 总是一个陪集，称为平凡陪集。
左陪集相等 [math]\displaystyle{ a H = bH }[/math] 当且仅当 [math]\displaystyle{ a^{-1}b \in H }[/math] ，右陪集相等 [math]\displaystyle{ Ha = Hb }[/math] 当且仅当 [math]\displaystyle{ a b^{-1}\in H }[/math] 。
左右陪集一般不同，若总是相同，则子群是一个正规子群。
陪集的个数由 Lagrange 定理确定，左陪集数就是其中定义的子群的指数。