假言三段论：修订间差异

2025年11月25日 (二) 08:38的最新版本

假言三段论
术语名称	假言三段论
英语名称	hypothetical syllogism
别名	HS, 连锁推理, chain rule, transitivity of implication

假言三段论(hypothetical syllogism)是命题逻辑中的重要推理规则，指蕴涵关系的传递性。

假言三段论这一名称本来是古典逻辑中三段论推理下的一类，指“如果 S 那么 M ，如果 M 那么 P ，则如果 S 那么 P”的三行，从两个假言命题得到新的假言命题。同时，古典逻辑中直言三段论“S 是 M ， M 是 P ，则 S 是 P”的本质也是针对具体对象的假言三段论。

现代这一用语指的是命题逻辑中的一个命题，由两个首尾连接的蕴含式推出新的蕴含式，即 “P 推出 Q ， Q 推出 R ，则 P 推出 R”。也指对应的推理规则。

定理

为对命题 [math]\displaystyle{ P,Q,R }[/math] 有重言式 [math]\displaystyle{ \vDash (P \rightarrow Q)\land (Q\rightarrow R) \rightarrow (P\rightarrow R) }[/math] ，称为假言三段论(hypothetical syllogism)，通常缩写为 HS 。

等价的表述方式有：

[math]\displaystyle{ \vDash (P \rightarrow Q)\rightarrow ((Q\rightarrow R) \rightarrow (P\rightarrow R)) }[/math] 通常称为 HS1 ；
[math]\displaystyle{ \vDash (Q \rightarrow R)\rightarrow ((P\rightarrow Q) \rightarrow (P\rightarrow R)) }[/math] 通常称为 HS2 。

对应的推理规则也称为假言三段论。 [math]\displaystyle{ P \rightarrow Q , Q\rightarrow R \vdash P\rightarrow R }[/math]

意义

在自然演绎系统中，假言三段论是构建复杂推理链条的基础。自然演绎中常常进行子证明，引入假设并得到这一假设所蕴涵的结论，即得出一个条件命题。假言三段论允许从多个条件命题推导出新的蕴涵关系，通过多步证明得到结论。
该规则在 Hilbert 系统中通常可作为公理或导出规则出现。特别是在使用 [math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math] 的系统中，使用 HS1 或 HS2 的情况较为多见。

非经典逻辑中的情况

大部分逻辑系统都支持使用假言三段论。
多值逻辑、模糊逻辑中因为蕴涵算子的定义变化，可能形式有对应差异，或真值度在传递中发生改变。

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+假言三段论这一名称本来是古典逻辑中三段论推理下的一类，指“如果 S 那么 M ，如果 M 那么 P ，则如果 S 那么 P”的三行，从两个假言命题得到新的假言命题。同时，古典逻辑中[[直言三段论]]“S 是 M ， M 是 P ，则 S 是 P”的本质也是针对具体对象的假言三段论。
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-'''假言三段论'''('''hypothetical syllogism''')是古典逻辑中三段论下的一个小类，指“S是M，M是P，则S是P”，由于古典逻辑中[[存在量词]]、[[全称量词]]和对某个个体的、这些形式为“X（不）是X”的命题全被并列为[[直言命题]]，这些 S 、 M 、 P 都可以是这三种的肯定否定命题，可以涵盖[[假言推理]]下的全部范围。
-现代这一用语指的是命题逻辑中的一个命题，由两个首尾连接的蕴含式推出新的蕴含式。也指对应的推理规则。
+现代这一用语指的是命题逻辑中的一个命题，由两个首尾连接的蕴含式推出新的蕴含式，即 “P 推出 Q ， Q 推出 R ，则 P 推出 R”。也指对应的推理规则。
-== 符号化 ==
+== 定理 ==
-假言三段论这一定理通常缩写为 HS 。命题逻辑中可符号化为对命题 <math>P,Q,R</math> 有[[重言式]] <math>(P \rightarrow Q)\land (Q\rightarrow R) \rightarrow (P\rightarrow R)</math> ，即：
+为对命题 <math>P,Q,R</math> 有[[重言式]] <math>\vDash (P \rightarrow Q)\land (Q\rightarrow R) \rightarrow (P\rightarrow R)</math> ，称为'''假言三段论'''('''hypothetical syllogism''')，通常缩写为 HS 。
-<math>\vdash (P \rightarrow Q)\land (Q\rightarrow R) \rightarrow (P\rightarrow R)</math>
+等价的表述方式有：
+* <math>\vDash (P \rightarrow Q)\rightarrow ((Q\rightarrow R) \rightarrow (P\rightarrow R))</math> 通常称为 HS1 ；
+* <math>\vDash (Q \rightarrow R)\rightarrow ((P\rightarrow Q) \rightarrow (P\rightarrow R))</math> 通常称为 HS2 。
-也可以表达为
+对应的推理规则也称为假言三段论。
+<math>P \rightarrow Q , Q\rightarrow R \vdash P\rightarrow R</math>
-<math>\vdash (P \rightarrow Q)\rightarrow ((Q\rightarrow R) \rightarrow (P\rightarrow R))</math> 称为 HS1
+== 意义 ==
-<math>\vdash (Q \rightarrow R)\rightarrow ((P\rightarrow Q) \rightarrow (P\rightarrow R))</math> 称为 HS2
+* 在[[自然演绎系统]]中，假言三段论是构建复杂推理链条的基础。自然演绎中常常进行子证明，引入假设并得到这一假设所蕴涵的结论，即得出一个条件命题。假言三段论允许从多个条件命题推导出新的蕴涵关系，通过多步证明得到结论。
+* 该规则在 [[Hilbert 系统]]中通常可作为公理或导出规则出现。特别是在使用 <math>\rightarrow</math> 的系统中，使用 HS1 或 HS2 的情况较为多见。
-对应的推理规则也称为假言三段论。
+== 非经典逻辑中的情况 ==
-<math>P \rightarrow Q , Q\rightarrow R \vdash P\rightarrow R</math>
+* 大部分逻辑系统都支持使用假言三段论。
+* 多值逻辑、模糊逻辑中因为蕴涵算子的定义变化，可能形式有对应差异，或真值度在传递中发生改变。