假言三段论
| 假言三段论 | |
|---|---|
| 术语名称 | 假言三段论 |
| 英语名称 | hypothetical syllogism |
| 别名 | HS, 连锁推理, chain rule, transitivity of implication |
假言三段论(hypothetical syllogism)是命题逻辑中的重要推理规则，指蕴涵关系的传递性。
假言三段论这一名称本来是古典逻辑中三段论推理下的一类，指“如果 S 那么 M ，如果 M 那么 P ，则如果 S 那么 P”的三行，从两个假言命题得到新的假言命题。同时，古典逻辑中直言三段论“S 是 M ， M 是 P ，则 S 是 P”的本质也是针对具体对象的假言三段论。
现代这一用语指的是命题逻辑中的一个命题，由两个首尾连接的蕴含式推出新的蕴含式，即 “P 推出 Q ， Q 推出 R ，则 P 推出 R”。也指对应的推理规则。
定理
为对命题 [math]\displaystyle{ P,Q,R }[/math] 有重言式 [math]\displaystyle{ \vDash (P \rightarrow Q)\land (Q\rightarrow R) \rightarrow (P\rightarrow R) }[/math] ，称为假言三段论(hypothetical syllogism)，通常缩写为 HS 。
等价的表述方式有：
- [math]\displaystyle{ \vDash (P \rightarrow Q)\rightarrow ((Q\rightarrow R) \rightarrow (P\rightarrow R)) }[/math] 通常称为 HS1 ；
- [math]\displaystyle{ \vDash (Q \rightarrow R)\rightarrow ((P\rightarrow Q) \rightarrow (P\rightarrow R)) }[/math] 通常称为 HS2 。
对应的推理规则也称为假言三段论。 [math]\displaystyle{ P \rightarrow Q , Q\rightarrow R \vdash P\rightarrow R }[/math]
意义
- 在自然演绎系统中，假言三段论是构建复杂推理链条的基础。自然演绎中常常进行子证明，引入假设并得到这一假设所蕴涵的结论，即得出一个条件命题。假言三段论允许从多个条件命题推导出新的蕴涵关系，通过多步证明得到结论。
- 该规则在 Hilbert 系统中通常可作为公理或导出规则出现。特别是在使用 [math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math] 的系统中，使用 HS1 或 HS2 的情况较为多见。
非经典逻辑中的情况
- 大部分逻辑系统都支持使用假言三段论。
- 多值逻辑、模糊逻辑中因为蕴涵算子的定义变化，可能形式有对应差异，或真值度在传递中发生改变。