传递关系

传递关系
术语名称	传递关系
英语名称	transitive relation

传递性
术语名称	传递性
英语名称	transitivity

传递的
术语名称	传递的
英语名称	transitive

传递关系(transitive relation)指集合上的一个二元关系中，若任意三个元素 a 和 b 有关系， b 和 c 有关系，则 a 和 c 也一定有关系。

定义

对集合 [math]\displaystyle{ X }[/math] 上的二元关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ \forall a \forall b \forall c (a R b \land b R c \rightarrow a R c) }[/math]，称：

关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 是传递的(transitive)，
关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 有传递性(transitivity)，
关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 是传递关系(transitive relation)。

等价定义：

与自身复合后得到的关系仍是原关系的子关系，即 [math]\displaystyle{ R^2 \subseteq R }[/math] 。
与自身任意次复合后得到的关系总是原关系的子关系，即 [math]\displaystyle{ R^n \subseteq R, n\in \mathbb{N}_+ }[/math] 。

性质

表示
- 一个关系是传递的当且仅当关系图中任意一个长为 2 的路径都存在从起点到终点的有向边。
关系简单运算相关性质
- 传递关系的交仍是传递关系。
- 传递关系的并不一定是传递关系。
- 传递关系的复合不一定是传递关系。
- 传递关系的幂仍是传递关系。
- 传递关系的逆关系仍是传递关系。
关系闭包运算相关性质
- 传递关系的自反闭包是预序关系。
- 传递关系的对称闭包不一定是传递关系。
- 任意关系的传递闭包是包含该关系的最小传递关系。
参与特殊类型关系
- 传递关系且是反自反关系的关系一定是不对称关系。
- 传递关系与反传递关系不互相排斥（蕴含前件总是为假即可。即找不到满足 [math]\displaystyle{ aRb, bRc }[/math] 的三个元素，任何元素不同时出现在关系有序对的前后两侧）。
- 所有等价关系都是传递关系。
- 所有偏序关系都是传递关系。

关系
定义属性	前域、后域、定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math]、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]、域 [math]\displaystyle{ \operatorname{fld} }[/math]
特殊关系	空关系 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、恒等关系 [math]\displaystyle{ I }[/math]、全关系 [math]\displaystyle{ A\times B }[/math]
二元齐次关系类型	自反、反自反、对称、反对称、传递
运算	集合运算	交 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补 [math]\displaystyle{ \bar{\bullet} }[/math]、差 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]
	类映射运算	转置/逆 [math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T}/\bullet^{-1} }[/math]、复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]（幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]）、限制 [math]\displaystyle{ \bullet_{\|\bullet} }[/math]
	闭包运算	自反 [math]\displaystyle{ \operatorname{r}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^= }[/math]、对称 [math]\displaystyle{ \operatorname{s}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^\sim }[/math]、传递 [math]\displaystyle{ \operatorname{t}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^+ }[/math]、自反传递 [math]\displaystyle{ \bullet^* }[/math]、等价 [math]\displaystyle{ \bullet^\equiv }[/math]

参考资料

Transitive relation - Wikipedia