排中律

排中律
术语名称	排中律
英语名称	law of excluded middle
别名	principle of excluded middle, law of the excluded third, principle of the excluded third, LEM, 非中律

排中律(law of excluded middle ，或 law of the excluded third ，其中 third 直接来自拉丁语 principium tertii exclusi )是古典逻辑三大基本规律之一，指对任何命题而言，不能同时拒绝一个命题及其否命题，或者说一个命题要么真要么假，不存在同时不成立的情况，即“要么 A 要么非 A”。

定理

永真式 [math]\displaystyle{ \vDash P \lor \lnot P }[/math] 称为排中律(law of excluded middle)，简写为 LEM 。

在谓词逻辑中，排中律表现为： [math]\displaystyle{ \vDash \forall x (P(x) \lor \lnot P(x)) }[/math] 。

意义

• 在自然演绎系统中，排中律常作为基本推理规则或定理出现。
• 在 Hilbert 系统中，排中律通常作为一个重要的公理或定理。
• 排中律与同一律、矛盾律共同构成古典逻辑三大基本规律。在古典逻辑中：
  • 它确保了二值原则，即每个命题都有确定的真值（真或假）；
  • 它为反证法提供了逻辑基础；
  • 它与双重否定消去逻辑等价。
• 排中律和双重否定消去一样，都可以作为反证法的基础：
  • 反证法通过证明 [math]\displaystyle{ \lnot A }[/math] 导致矛盾，即 [math]\displaystyle{ \lnot A }[/math] 为假，即 [math]\displaystyle{ \lnot(\lnot A) }[/math] 。隐式使用双重否定消去从而得到结论 [math]\displaystyle{ A }[/math] ；也可以认为排中律 [math]\displaystyle{ A\lor \lnot A }[/math] 在有 [math]\displaystyle{ \lnot(\lnot A) }[/math] 时通过选言三段论得到了 [math]\displaystyle{ A }[/math] 。
  • 因此，反证法的有效性依赖于排中律。

非经典逻辑中的情况

• 直觉主义逻辑
  • 明确拒绝排中律： [math]\displaystyle{ P \lor \lnot P }[/math] 不被认为是永真式；
  • 只接受有证据支持的析取，即要证明 [math]\displaystyle{ P \lor Q }[/math] ，必须能构造性地证明 [math]\displaystyle{ P }[/math] 或构造性地证明 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 。
• 多值逻辑
  • 排中律本质是提出真值必须是两个真值之一；多值逻辑中真值超过两个时，排中律通常不成立。
• 模糊逻辑
  • 排中律不成立，因为真值度连续变化。

其他表述

排中律的表述仅要求两个命题互为否定，可以扩展到命题逻辑外的逻辑领域中，并替换为一对互为否定的命题：

• 模态命题：要么必然 A 要么可能非 A ；要么可能 A 要么必然非 A 。
• 直言命题中的 A 与 O 、 E 与 I ：要么所有 x 都具有性质 p 要么有的 x 不具有性质 p ；要么所有 x 都不具有性质 p 要么有的 x 具有性质 p 。
• 直言命题中的单称命题：某个 x 要么具有 p 要么不具有 p 。即对一个个体词 [math]\displaystyle{ x }[/math] 及描述性质的谓词 [math]\displaystyle{ p }[/math] ，这一个体要么具有这一性质（即命题 [math]\displaystyle{ p(x) }[/math] ）要么不具有这一性质（即命题 [math]\displaystyle{ \lnot p(x) }[/math] ）。