选言三段论：修订间差异

2025年11月25日 (二) 08:23的版本

选言三段论
术语名称	选言三段论
英语名称
别名	DS, modus tollendo ponens, MTP, 析取三段论

选言三段论(disjunctive syllogism, DS)是命题逻辑中的重要推理规则，指一个析取命题中，已知命题本身为真且其中一个析取支为假，则可以推出另一个析取支为真。

这一名称来自选言三段论是古典逻辑中三段论下的一个分类，指“P或Q，非P，则Q”，即涉及一个选言命题和一个直言命题的全部推理，即选言推理。

定理

以下重言式称为选言三段论(disjunctive syllogism)，通常简写为 DS ： [math]\displaystyle{ \vDash ((P \lor Q) \land \lnot P) \rightarrow Q }[/math]

也有等价形式：

[math]\displaystyle{ \vDash ((P \lor Q) \land \lnot Q) \rightarrow P }[/math]

变体

选言三段论中的析取可以换为互斥析取。 [math]\displaystyle{ \vDash ((P \oplus Q) \land \lnot P) \rightarrow Q }[/math]

选言三段论可以推广到有更多析取支的析取命题： [math]\displaystyle{ P_1 \lor P_2 \lor \cdots \lor P_n, \quad \lnot P_1, \quad \lnot P_2, \quad \cdots, \quad \lnot P_{n-1} \vdash P_n }[/math] 。

意义

在自然演绎系统中，选言三段论是析取消去规则的特例：
- 完整的析取消去规则：从 [math]\displaystyle{ P \lor Q, P \rightarrow R, Q \rightarrow R \vdash R }[/math] 。
- 若其中 [math]\displaystyle{ R }[/math] 和 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 取同一命题，由于 [math]\displaystyle{ \lnot P \vdash P \rightarrow Q }[/math] ，可以得到这个定理。
选言三段论在日常推理中一般称为排除法。

非经典逻辑中的情况

古典逻辑中选言三段论是可证明的定理，经常作为基本的有效推理规则。
直觉主义逻辑同样接受选言三段论，只要有一个析取式为真且其中一个为假，就能构造性推出另一个为真。
多值逻辑和模糊逻辑中依赖于各个运算符的定义。

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-'''选言三段论'''('''disjunctive syllogism''')是古典逻辑中三段论下的一个小类，指“P或Q，非P，则Q”，古典逻辑中其内涵涵盖涉及一个选言命题和一个直言命题的全部推理，即[[选言推理]]下的全部范围，见对应词条。
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+'''选言三段论'''('''disjunctive syllogism''', '''DS''')是命题逻辑中的重要推理规则，指一个[[析取命题]]中，已知[[命题]]本身为真且其中一个析取支为假，则可以推出另一个析取支为真。
+这一名称来自选言三段论是古典逻辑中三段论下的一个分类，指“P或Q，非P，则Q”，即涉及一个[[选言命题]]和一个[[直言命题]]的全部推理，即[[选言推理]]。
+== 定理 ==
+以下重言式称为'''选言三段论'''('''disjunctive syllogism''')，通常简写为 '''DS''' ：
+<math>\vDash ((P \lor Q) \land \lnot P) \rightarrow Q</math>
+也有等价形式：
+* <math>\vDash ((P \lor Q) \land \lnot Q) \rightarrow P</math>
+=== 变体 ===
-现代这一用语指的是命题逻辑中的一个推理规则，对有多个析取项的命题，加上对其中某个析取项的否定，可以推出从原命题中排除这一项的命题。
+选言三段论中的析取可以换为[[互斥析取]]。
+<math>\vDash ((P \oplus Q) \land \lnot P) \rightarrow Q</math>
-== 符号化 ==
+选言三段论可以推广到有更多析取支的析取命题：
+<math>P_1 \lor P_2 \lor \cdots \lor P_n, \quad \lnot P_1, \quad \lnot P_2, \quad \cdots, \quad \lnot P_{n-1} \vdash P_n</math> 。
-选言三段论这一定理通常缩写为 DS ，也使用 MTP （来自旧称 {{Lat|modus tollendo ponens}}）。命题逻辑中可符号化为对命题 <math>P,Q</math> 有[[重言式]] <math>(P \lor  Q)\land (\lnot P) \rightarrow Q</math> ，即：
+== 意义 ==
-<math>\vdash (P \lor  Q)\land (\lnot P) \rightarrow Q</math>
+* 在[[自然演绎系统]]中，选言三段论是析取消去规则的特例：
+** 完整的析取消去规则：从 <math>P \lor Q, P \rightarrow R, Q \rightarrow R \vdash R</math> 。
+** 若其中 <math>R</math> 和 <math>Q</math> 取同一命题，由于 <math>\lnot P \vdash P \rightarrow Q</math> ，可以得到这个定理。
+* 选言三段论在日常推理中一般称为'''排除法'''。
-对应的推理规则也称为选言三段论。
+== 非经典逻辑中的情况 ==
-<math>P \lor Q , \lnot P \vdash Q</math>
+* 古典逻辑中选言三段论是可证明的定理，经常作为基本的有效推理规则。
+* 直觉主义逻辑同样接受选言三段论，只要有一个析取式为真且其中一个为假，就能构造性推出另一个为真。
+* 多值逻辑和模糊逻辑中依赖于各个运算符的定义。