互斥析取

互斥析取
术语名称	互斥析取
英语名称	exclusive disjunction
别名	逻辑异或, logical XOR, 排斥或, 不可兼或, exclusive or

互斥析取(exclusive disjunction)是对两个命题，由其中有且仅有一个为真所对应的命题。 对应通常意义上的或的一部分用法。 但不是五个常用逻辑联结词之一。

通常意义上的“或”可能指“相容或”（析取）或“排斥或”（互斥析取）。

定义

互斥析取
运算名称	互斥析取
运算符号	[math]\displaystyle{ \nleftrightarrow }[/math],[math]\displaystyle{ \oplus }[/math],[math]\displaystyle{ \veebar }[/math]
Latex	\nleftrightarrow , \oplus , \veebar
运算对象	命题公式
运算元数	2
运算结果	命题公式
结构	布尔代数

对命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 、 [math]\displaystyle{ Q }[/math] ，记命题 [math]\displaystyle{ R }[/math] 满足：

• 当 [math]\displaystyle{ P }[/math] 为真，同时 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 为假时，命题 [math]\displaystyle{ R }[/math] 为真；
• 当 [math]\displaystyle{ P }[/math] 为假，同时 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 为真时，命题 [math]\displaystyle{ R }[/math] 为真；
• 当 [math]\displaystyle{ P }[/math] 为真，同时 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 也为真时，命题 [math]\displaystyle{ R }[/math] 为假；
• 当 [math]\displaystyle{ P }[/math] 为假，同时 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 也为假时，命题 [math]\displaystyle{ R }[/math] 为假。

称这样的命题 [math]\displaystyle{ R }[/math] 为命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 与命题 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 的互斥析取(exclusive disjunction)，记作 [math]\displaystyle{ P \nleftrightarrow Q }[/math] 、 [math]\displaystyle{ P \oplus Q }[/math] 、 [math]\displaystyle{ P \veebar Q }[/math]，读作[math]\displaystyle{ P }[/math] 异或 [math]\displaystyle{ Q }[/math]([math]\displaystyle{ P }[/math] xor [math]\displaystyle{ Q }[/math]) 或 [math]\displaystyle{ P }[/math] 互斥析取 [math]\displaystyle{ Q }[/math]。

↮
字符	↮
Unicode码位	U+21AE Left Right Arrow with Stroke
Latex命令序列	\nleftrightarrow

⊕
字符	⊕
Unicode码位	U+2295 Circled Plus
Latex命令序列	\oplus

⊻
字符	⊻
Unicode码位	U+22BB XOR
Latex命令序列	\veebar

异或本身没有常见的五个逻辑联结词常用。在少数出现中，这三个符号都有出现情况。中文语境中，一般使用 [math]\displaystyle{ \oplus }[/math] 的形式。 此外还会有更加少见的，使用 + （因为可以看作模 2 剩余类群上的加法）或 [math]\displaystyle{ \dot\vee }[/math]。

另外，正如符号所暗示的，异或本身相当于等价和否定运算的复合。

真值表

[math]\displaystyle{ p }[/math]	[math]\displaystyle{ q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \oplus q }[/math]
T	T	F
T	F	T
F	T	T
F	F	T

性质

布尔代数的运算。

• 运算性质：
  • 结合律：对于任意命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 、 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 和 [math]\displaystyle{ R }[/math]，有 [math]\displaystyle{ (P \oplus Q) \oplus R = P \oplus (Q \oplus R) }[/math]。
  • 交换律：对于任意命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 和 [math]\displaystyle{ Q }[/math]，有 [math]\displaystyle{ P \oplus Q = Q \oplus P }[/math]。
  • 对于任意命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 和 [math]\displaystyle{ Q }[/math]，有 [math]\displaystyle{ (P \oplus Q) \oplus Q = P }[/math]。
• 特殊值：
  • [math]\displaystyle{ P \oplus P = P }[/math]
  • [math]\displaystyle{ P \oplus \mathrm{F} = P }[/math]
  • [math]\displaystyle{ P \oplus \mathrm{T} = \lnot P }[/math]

多元异或

对命题 [math]\displaystyle{ P_1, P_2, \dots , P_n }[/math] ，由这些命题中奇数个为真所对应的命题，记作 [math]\displaystyle{ P_1 \oplus P_2 \oplus \dots \oplus P_n }[/math]。也记作 [math]\displaystyle{ \bigoplus_{i=1}^n P_i = P_1 \oplus P_2 \oplus \dots \oplus P_n }[/math]。

这是由于结合律成立产生的直接定义。

另外，当然也存在多元的排斥或，定义为多个中仅有一个为真，但是很不常见，甚至没有专门且通用的名称。

命题逻辑/零阶逻辑
基本概念	命题	命题、命题变元、命题常量
	真值	真[math]\displaystyle{ \mathrm{T} }[/math]/[math]\displaystyle{ 1 }[/math]/[math]\displaystyle{ \top }[/math]、假[math]\displaystyle{ \mathrm{F} }[/math]/[math]\displaystyle{ 0 }[/math]/[math]\displaystyle{ \bot }[/math]
逻辑联结词	否定（非）[math]\displaystyle{ \lnot }[/math]、合取（且/与）[math]\displaystyle{ \land }[/math]、析取（或）[math]\displaystyle{ \lor }[/math]
	蕴含（推出）[math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math]、等价（当且仅当）[math]\displaystyle{ \leftrightarrow }[/math]
命题公式	语义	真值表、指派、解释、满足
	分类	重言式/永真式、偶然式/仅可满足式/可真可假式、矛盾式/永假式/不可满足式
	范式	析取范式、合取范式（主析取范式、主合取范式）
语义关系	等值	等值/等价[math]\displaystyle{ = }[/math]/[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math]、置换
	重言蕴含	重言蕴含[math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math]

逻辑联结词
零元
真值表			[math]\displaystyle{ \bot }[/math]								[math]\displaystyle{ \top }[/math]
			T								F
名称			真[math]\displaystyle{ \top }[/math]								假[math]\displaystyle{ \bot }[/math]
二进制			0								1
一元
真值表	[math]\displaystyle{ p }[/math]		[math]\displaystyle{ \bot }[/math]				[math]\displaystyle{ \lnot p }[/math]				[math]\displaystyle{ p }[/math]				[math]\displaystyle{ \top }[/math]
	T		F								T
	F		F				T				F				T
名称			假[math]\displaystyle{ \bot }[/math]				否定（非）[math]\displaystyle{ \lnot }[/math]				（恒等映射[math]\displaystyle{ \mathrm{id} }[/math]）				真[math]\displaystyle{ \top }[/math]
缩写			-				NOT				-				-
二进制			0				1				2				3
二元
真值表	[math]\displaystyle{ p }[/math]	[math]\displaystyle{ q }[/math]	[math]\displaystyle{ \bot }[/math]	[math]\displaystyle{ p \bar{\vee} q }[/math] [math]\displaystyle{ p \downarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \nleftarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ \lnot p }[/math]	[math]\displaystyle{ p \nrightarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ \lnot q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \oplus q }[/math] [math]\displaystyle{ p \nleftrightarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \barwedge q }[/math] [math]\displaystyle{ p \uparrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \land q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \leftrightarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \rightarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p }[/math]	[math]\displaystyle{ p \leftarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \lor q }[/math]	[math]\displaystyle{ \top }[/math]
	T	T	F								T
		F	F				T				F				T
	F	T	F		T		F		T		F		T		F		T
		F	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T
名称			假 [math]\displaystyle{ \bot }[/math]	或非 [math]\displaystyle{ \downarrow }[/math]/[math]\displaystyle{ \bar{\vee} }[/math]	-	否定 非 [math]\displaystyle{ \lnot }[/math]	-	否定 非 [math]\displaystyle{ \lnot }[/math]	互斥析取 异或 [math]\displaystyle{ \oplus }[/math]/[math]\displaystyle{ \nleftrightarrow }[/math]/[math]\displaystyle{ \veebar }[/math]	与非 [math]\displaystyle{ \uparrow }[/math]/[math]\displaystyle{ \barwedge }[/math]	合取 且/与 [math]\displaystyle{ \land }[/math]	等价 当且仅当 [math]\displaystyle{ \leftrightarrow }[/math]	投影映射 [math]\displaystyle{ \mathrm{proj}_2 }[/math]	蕴含 推出 [math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math]	投影映射 [math]\displaystyle{ \mathrm{proj}_1 }[/math]	-	析取 或 [math]\displaystyle{ \lor }[/math]	真 [math]\displaystyle{ \top }[/math]
缩写			-	NOR	-	NOT	NIMPLY	NOT	XOR	NAND	AND	XNOR EQV	-	IMPLY	-	-	OR	-
二进制			0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15

琐事

名称

“异或”的名字来自于，它首先是一种“或”。“或”有两种，一种是至少一个，另一种是其中相异的。因此其中相异的被称为“异或”。

“XOR”就是 exclusive or 的缩写，读 [̩ɛksˈɔː] 或 [ksɔː] 。也有 EOR 和 EXOR 的写法，但现在很少见。