选言三段论

选言三段论
术语名称	选言三段论
英语名称
别名	DS, modus tollendo ponens, MTP, 析取三段论

选言三段论(disjunctive syllogism, DS)是命题逻辑中的重要推理规则，指一个析取命题中，已知命题本身为真且其中一个析取支为假，则可以推出另一个析取支为真。

这一名称来自选言三段论是古典逻辑中三段论下的一个分类，指“P或Q，非P，则Q”，即涉及一个选言命题和一个直言命题的全部推理，即选言推理。

定理

以下重言式称为选言三段论(disjunctive syllogism)，通常简写为 DS ： [math]\displaystyle{ \vDash ((P \lor Q) \land \lnot P) \rightarrow Q }[/math]

也有等价形式：

• [math]\displaystyle{ \vDash ((P \lor Q) \land \lnot Q) \rightarrow P }[/math]

变体

选言三段论中的析取可以换为互斥析取。 [math]\displaystyle{ \vDash ((P \oplus Q) \land \lnot P) \rightarrow Q }[/math]

选言三段论可以推广到有更多析取支的析取命题： [math]\displaystyle{ P_1 \lor P_2 \lor \cdots \lor P_n, \lnot P_1, \lnot P_2, \cdots, \lnot P_{n-1} \vdash P_n }[/math] 。

意义

• 在自然演绎系统中，选言三段论是析取消去规则的特例：
  • 完整的析取消去规则：从 [math]\displaystyle{ P \lor Q, P \rightarrow R, Q \rightarrow R \vdash R }[/math] 。
  • 若其中 [math]\displaystyle{ R }[/math] 和 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 取同一命题，由于 [math]\displaystyle{ \lnot P \vdash P \rightarrow Q }[/math] ，可以得到这个定理。
• 选言三段论在日常推理中一般称为排除法。

非经典逻辑中的情况

• 经典逻辑中选言三段论是可证明的定理，经常作为基本的有效推理规则。
• 直觉主义逻辑同样接受选言三段论，只要有一个析取式为真且其中一个为假，就能构造性推出另一个为真。
• 多值逻辑和模糊逻辑中依赖于各个运算符的定义。