关系

关系
术语名称	关系
英语名称	relation

关系(relation)是描述两个或多个集合中元素之间的关联的数学对象。不特殊说明的情况下，关系指两个集合之间的关系。

定义

对 [math]\displaystyle{ n }[/math] 个集合 [math]\displaystyle{ A_1, A_2, \dots, A_n }[/math] 有笛卡尔积 [math]\displaystyle{ A_1 \times A_2 \times \dots \times A_n }[/math] ，则其子集 [math]\displaystyle{ R \subseteq A_1 \times A_2 \times \dots \times A_n }[/math] 称为 [math]\displaystyle{ A_1, A_2, \dots, A_n }[/math] 上的一个 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元关系(n-ary relation)。也就是说，关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 是 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元组 [math]\displaystyle{ (a_1, a_2, \dots, a_n) }[/math] 的集合，其中 [math]\displaystyle{ a_i \in A_i }[/math]。

关系一般用R、S、……表示。

通常，如果不特别指出元数，关系是指二元关系。

二元关系

对集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 、 [math]\displaystyle{ B }[/math] 有笛卡尔积 [math]\displaystyle{ A \times B }[/math] ，则其子集 [math]\displaystyle{ R \subseteq A \times B }[/math] 称为 [math]\displaystyle{ A }[/math] 、 [math]\displaystyle{ B }[/math] 上的一个 二元关系(binary relation)，简称关系(relation)。也就是说，关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 是有序对 [math]\displaystyle{ \langle a, b \rangle }[/math] 的集合，其中 [math]\displaystyle{ a \in A, b \in B }[/math]。

两个集合上的关系也称为从 [math]\displaystyle{ A }[/math] 到 [math]\displaystyle{ B }[/math] 的二元关系。反过来，对从 [math]\displaystyle{ A }[/math] 到 [math]\displaystyle{ B }[/math] 的二元关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] ， [math]\displaystyle{ A }[/math] 称为二元关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 的前域(domain)或出发域(set of departure)， [math]\displaystyle{ B }[/math] 称为二元关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 的后域(codomain)或到达域(set of destination)。^[1]

[math]\displaystyle{ A=B }[/math]的情况也称为齐次关系(homogeneous relation 或 endorelation)，与之相对的是非齐次关系(heterogeneous relation)。^[2]

从 [math]\displaystyle{ A }[/math] 到 [math]\displaystyle{ A }[/math] 的二元关系也称为 [math]\displaystyle{ A }[/math] 上的二元关系。

表示

关系有以下几种表示方法：

集合的描述法：[math]\displaystyle{ \left\{ \langle x, y \rangle \mid x = y - 1 \right\} }[/math]
集合的列举法：[math]\displaystyle{ \left\{ \langle 1,2 \rangle,\langle 2,3 \rangle, \langle 3,4 \rangle \right\} }[/math]
关系图
关系矩阵

关系图

关系图
术语名称	关系图
英语名称	arrow diagram

对于两个集合，可以通过分别画出前后域、分别列出所有元素并使用从前域到后域的箭头来表示关系。对于前后域相同的情况，可以通过列出域中所有元素，并通过由元素指向另一个元素（或自身）的箭头表示关系中的有序对。这样的图表称为关系图(arrow diagram)。

对集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 上的关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] ，图 [math]\displaystyle{ \langle A, R \rangle }[/math] 称为 [math]\displaystyle{ R }[/math] 的图示，简称关系图，记作 [math]\displaystyle{ G_R }[/math] 。

对集合 [math]\displaystyle{ A }[/math]、[math]\displaystyle{ B }[/math] 上的关系 [math]\displaystyle{ R }[/math]，顶点集为 [math]\displaystyle{ V = A \sqcup B = \left\{ a_A | a \in A \right\} \cup \left\{ b_B \mid b \in B \right\} }[/math] 、边集 [math]\displaystyle{ E = \left\{ \langle a_A, b_B \rangle \mid \langle a, b \rangle \in R \right\} }[/math] 的图 [math]\displaystyle{ \langle V, E \rangle }[/math] 是 [math]\displaystyle{ R }[/math] 的关系图。

前后域相同的关系图是一种有向图，前后域不同的关系图是一种有向二部图。有时也用这个类型来区分。

关系矩阵

关系矩阵
术语名称	关系矩阵
英语名称	relation matrix
别名	logical matrix

对集合 [math]\displaystyle{ A = \{ a_1, a_2, \dots , a_n \} }[/math] 和 [math]\displaystyle{ B = \{ b_1, b_2, \dots , b_n \} }[/math] 上的关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] ，记矩阵 [math]\displaystyle{ M_R = \left( r_{ij} \right)_{m \times n} }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ r_{ij} = \begin{cases} 1, & a_i R b_j \\ 0, & a_i \not R b_j \end{cases} }[/math]，称为 [math]\displaystyle{ R }[/math] 的关系矩阵(relation matrix)。

关系矩阵是一种布尔矩阵。有时也直接将关系矩阵叫做关系的'布尔矩阵(logical matrix)。

有关系

对 [math]\displaystyle{ X }[/math] 到 [math]\displaystyle{ Y }[/math] 的关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 及 [math]\displaystyle{ x \in X, y\in Y }[/math] ：

若 [math]\displaystyle{ \langle x,y \rangle \in R }[/math] ，称 [math]\displaystyle{ x }[/math] 和 [math]\displaystyle{ y }[/math] 有关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] ([math]\displaystyle{ x }[/math] and [math]\displaystyle{ y }[/math] are [math]\displaystyle{ R }[/math]-related / [math]\displaystyle{ x }[/math] and [math]\displaystyle{ y }[/math] are related by [math]\displaystyle{ R }[/math] / [math]\displaystyle{ x }[/math] is [math]\displaystyle{ R }[/math]-related to [math]\displaystyle{ y }[/math])，记作 [math]\displaystyle{ xRy }[/math]。

相反，若 [math]\displaystyle{ \langle x,y \rangle \notin R }[/math] ，称 [math]\displaystyle{ x }[/math] 和 [math]\displaystyle{ y }[/math] 没有关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] ([math]\displaystyle{ x }[/math] and [math]\displaystyle{ y }[/math] are not [math]\displaystyle{ R }[/math]-related / [math]\displaystyle{ x }[/math] and [math]\displaystyle{ y }[/math] are not related by [math]\displaystyle{ R }[/math] / [math]\displaystyle{ x }[/math] is not [math]\displaystyle{ R }[/math]-related to [math]\displaystyle{ y }[/math])，记作 [math]\displaystyle{ x \not R y }[/math] 或 [math]\displaystyle{ x \lnot R y }[/math]。

关系和运算

关系/二元关系
定义属性	前域、后域、定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math]、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]、域 [math]\displaystyle{ \operatorname{fld} }[/math]
特殊关系	空关系 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、恒等关系 [math]\displaystyle{ I }[/math]、全关系 [math]\displaystyle{ A\times B }[/math]
类型	自反、反自反、对称、反对称、传递
运算	基础运算	交 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补 [math]\displaystyle{ \bar{\bullet} }[/math]、差 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]
运算	函数性运算	对偶（转置、逆） [math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T}/\bullet^{-1} }[/math]、复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]（幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]）、限制 [math]\displaystyle{ \bullet_{\|\bullet} }[/math]

全部搜索结果

搜索到相关的特殊值：

	对象类型
全域关系	关系
恒等关系	关系
空关系	关系

搜索到相关的关系：

空列表搜索到相关的运算：

	运算对象	运算结果
交关系	关系	关系
传递闭包	关系	关系
反自反核	关系	关系
商集	集合关系	集族
复合（关系）	关系	关系
对偶关系	关系	关系
对称闭包	关系	关系
差（关系）	关系	关系
幂（关系）	关系	关系
并关系	关系	关系
自反闭包	关系	关系
补关系	关系	关系
限制（关系）	关系	关系

↑ domain 和 codomain 在函数相关经常译为 “定义域”“陪域”，但关系的 domain 和 domain of definition 不同，一般要做区别。
↑ 这里应该按本意译为“同质关系”“异质关系”。中文语境使用不多，而且基本都是齐次和非齐次。

[1] 和 codomain 在函数相关经常译为 “定义域”“陪域”，但关系的 domain 和 domain of definition 不同，一般要做区别。

[2] 这里应该按本意译为“同质关系”“异质关系”。中文语境使用不多，而且基本都是齐次和非齐次。

[1]

[2]