关系

关系
术语名称	关系
英语名称	relation

关系(relation)是描述两个或多个集合中元素之间的关联的数学对象。不特殊说明的情况下，关系指两个集合之间的关系，即二元关系。

定义

对 [math]\displaystyle{ n }[/math] 个集合 [math]\displaystyle{ A_1, A_2, \dots, A_n }[/math] 有笛卡尔积 [math]\displaystyle{ A_1 \times A_2 \times \dots \times A_n }[/math] ，则其子集 [math]\displaystyle{ R \subseteq A_1 \times A_2 \times \dots \times A_n }[/math] 称为 [math]\displaystyle{ A_1, A_2, \dots, A_n }[/math] 上的一个 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元关系(n-ary relation)。也就是说，关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 是 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元组 [math]\displaystyle{ (a_1, a_2, \dots, a_n) }[/math] 的集合，其中 [math]\displaystyle{ a_i \in A_i }[/math] 。

关系一般用 R、S、……表示。

通常，如果不特别指出元数，关系是指二元关系。

二元关系

对集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 、 [math]\displaystyle{ B }[/math] 有笛卡尔积 [math]\displaystyle{ A \times B }[/math] ，则其子集 [math]\displaystyle{ R \subseteq A \times B }[/math] 称为 [math]\displaystyle{ A }[/math] 、 [math]\displaystyle{ B }[/math] 上的一个 二元关系(binary relation)，简称关系(relation)。也就是说，关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 是有序对 [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math] 的集合，其中 [math]\displaystyle{ a \in A, b \in B }[/math] 。

两个集合上的关系也称为从 [math]\displaystyle{ A }[/math] 到 [math]\displaystyle{ B }[/math] 的二元关系。反过来，对从 [math]\displaystyle{ A }[/math] 到 [math]\displaystyle{ B }[/math] 的二元关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] ， [math]\displaystyle{ A }[/math] 称为二元关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 的前域(domain)或出发域(set of departure)， [math]\displaystyle{ B }[/math] 称为二元关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 的后域(codomain)或到达域(set of destination)。^[1]

当 [math]\displaystyle{ A=B }[/math] 时称为齐次关系(homogeneous relation 或 endorelation)，与之相对的 [math]\displaystyle{ A\neq B }[/math] 时称为非齐次关系(heterogeneous relation)。^[2]

从 [math]\displaystyle{ A }[/math] 到 [math]\displaystyle{ A }[/math] 的二元关系也称为 [math]\displaystyle{ A }[/math] 上的二元关系。

表示

元组及有序对使用尖括号和圆括号的场景均不少见，本 wiki 统一使用圆括号。

关系有以下几种表示方法：

集合的描述法： [math]\displaystyle{ \left\{ (x, y) \mid x = y - 1 \right\} }[/math] ，非正式时也可以简化为谓词部分的关系式 [math]\displaystyle{ x=y-1 }[/math]
集合的列举法： [math]\displaystyle{ \left\{ (1,2),(2,3),(3,4) \right\} }[/math]
关系图
关系矩阵

关系图

关系图
术语名称	关系图
英语名称	arrow diagram

对于两个集合，可以通过分别画出前后域、分别列出所有元素并使用从前域到后域的箭头来表示关系。对于前后域相同的情况，可以通过列出域中所有元素，并通过由元素指向另一个元素（或自身）的箭头表示关系中的有序对。这样的图表称为关系图(arrow diagram)。关系图是一张图(graph)，其顶点选取与关系为齐次关系还是非齐次关系有关。

对集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 上的齐次关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] ，记有向图 [math]\displaystyle{ (A, R) }[/math] ，以集合中的元素为顶点集、关系中的元素作为有向边集，称为关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 的图示，简称关系图，记作 [math]\displaystyle{ G_R }[/math] 。

对集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 、 [math]\displaystyle{ B }[/math] 上的非齐次关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] ，记有向图 [math]\displaystyle{ (V, E) }[/math] ，以前域和后域全体元素的集合 [math]\displaystyle{ V = A \sqcup B = \left\{ a_A | a \in A \right\} \cup \left\{ b_B \mid b \in B \right\} }[/math] 为顶点集（此处加入下标表示前后域交集中的元素需要被标记为两个不同顶点）、以关系中元素的集合 [math]\displaystyle{ E = \left\{ (a_A, b_B) \mid (a, b) \in R \right\} }[/math] 为边集，这样的图是 [math]\displaystyle{ R }[/math] 的关系图。

前后域相同的关系图是一种有向图，前后域不同的关系图是一种有向二部图。有时也用这个类型来区分。

关系矩阵

关系矩阵
术语名称	关系矩阵
英语名称	relation matrix
别名	logical matrix

对集合 [math]\displaystyle{ A = \{ a_1, a_2, \dots , a_m \} }[/math] 和 [math]\displaystyle{ B = \{ b_1, b_2, \dots , b_n \} }[/math] 上的关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] ，记矩阵 [math]\displaystyle{ M_R = \left( r_{ij} \right)_{m \times n} }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ r_{ij} = \begin{cases} 1, & (a_i, b_j) \in R \\ 0, & (a_i, b_j) \in R \end{cases} }[/math] ，称为 [math]\displaystyle{ R }[/math] 的关系矩阵(relation matrix)。

关系矩阵是一种布尔矩阵。有时也直接将关系矩阵叫做关系的布尔矩阵(logical matrix)。

有关系

对 [math]\displaystyle{ X }[/math] 到 [math]\displaystyle{ Y }[/math] 的关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 及 [math]\displaystyle{ x \in X, y\in Y }[/math] ：

若 [math]\displaystyle{ (x,y)\in R }[/math] ，称 [math]\displaystyle{ x }[/math] 和 [math]\displaystyle{ y }[/math] 有关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] ([math]\displaystyle{ x }[/math] and [math]\displaystyle{ y }[/math] are [math]\displaystyle{ R }[/math]-related / [math]\displaystyle{ x }[/math] and [math]\displaystyle{ y }[/math] are related by [math]\displaystyle{ R }[/math] / [math]\displaystyle{ x }[/math] is [math]\displaystyle{ R }[/math]-related to [math]\displaystyle{ y }[/math])，记作 [math]\displaystyle{ xRy }[/math] 。

相反，若 [math]\displaystyle{ (x,y) \notin R }[/math] ，称 [math]\displaystyle{ x }[/math] 和 [math]\displaystyle{ y }[/math] 没有关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] ([math]\displaystyle{ x }[/math] and [math]\displaystyle{ y }[/math] are not [math]\displaystyle{ R }[/math]-related / [math]\displaystyle{ x }[/math] and [math]\displaystyle{ y }[/math] are not related by [math]\displaystyle{ R }[/math] / [math]\displaystyle{ x }[/math] is not [math]\displaystyle{ R }[/math]-related to [math]\displaystyle{ y }[/math])，记作 [math]\displaystyle{ x \not R y }[/math] 或 [math]\displaystyle{ x \lnot R y }[/math] 。

关系和运算

关系
定义属性	前域、后域、定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math]、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]、域 [math]\displaystyle{ \operatorname{fld} }[/math]
特殊关系	空关系 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、恒等关系 [math]\displaystyle{ I }[/math]、全关系 [math]\displaystyle{ A\times B }[/math]
二元齐次关系类型	自反、反自反、对称、反对称、传递
运算	集合运算	交 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补 [math]\displaystyle{ \bar{\bullet} }[/math]、差 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]
	类映射运算	转置/逆 [math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T}/\bullet^{-1} }[/math]、复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]（幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]）、限制 [math]\displaystyle{ \bullet_{\|\bullet} }[/math]
	闭包运算	自反 [math]\displaystyle{ \operatorname{r}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^= }[/math]、对称 [math]\displaystyle{ \operatorname{s}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^\sim }[/math]、传递 [math]\displaystyle{ \operatorname{t}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^+ }[/math]、自反传递 [math]\displaystyle{ \bullet^* }[/math]、等价 [math]\displaystyle{ \bullet^\equiv }[/math]

全部搜索结果

以下是本 wiki 中通过搜索页面结构化数据聚合的列表，仅供参考。

搜索到相关的特殊值：

	对象类型
恒等关系	关系
空关系	关系
全关系	关系

搜索到相关的关系：

空列表

搜索到相关的运算：

页面	运算名称	运算对象	运算元数	运算结果
并（关系）#并关系	并关系	关系	2	关系
补（关系）#补关系	补关系	关系	1	关系
差（关系）#差关系	差关系	关系	2	关系
传递闭包#传递闭包	传递闭包	关系	1	关系
等价闭包#等价闭包	等价闭包	关系	1	关系
对称闭包#对称闭包	对称闭包	关系	1	关系
反自反核#自反约简/反自反核	自反约简/反自反核	关系	1	关系
复合（关系）#复合	复合	关系	2	关系
交（关系）#交关系	交关系	关系	2	关系
幂（关系）#幂关系	幂关系	关系自然数	2	关系
逆关系#逆关系	逆关系	关系	1	关系
商集#商集	商集	集合关系	2	集族
限制（关系）#限制	限制	关系	2	关系
自反闭包#自反闭包	自反闭包	关系	1	关系
自反传递闭包#自反传递闭包	自反传递闭包	关系	1	关系

↑ domain 和 codomain 在函数相关经常译为 “定义域”“陪域”，但关系的 domain 和 domain of definition 不同，一般要做区别。
↑ 这里应该按本意译为“同质关系”“异质关系”。中文语境使用不多，而且基本都是齐次和非齐次。

[1] 和 codomain 在函数相关经常译为 “定义域”“陪域”，但关系的 domain 和 domain of definition 不同，一般要做区别。

[2] 这里应该按本意译为“同质关系”“异质关系”。中文语境使用不多，而且基本都是齐次和非齐次。

[1]

[2]