双射
| 双射 | |
|---|---|
| 术语名称 | 双射 |
| 英语名称 | bijection |
| 别名 | bijective function, 一一映射, 一一对应, one-to-one correspondence, 1-1 correspondence |
双射(bijection)指一个映射既单又满。即对陪域中的每个元素，都有且仅有一个原像与其对应。 尽管定义的标准不同，双射和可逆映射是等价概念。
定义
对映射 [math]\displaystyle{ f: X\to Y }[/math] ，若：
- [math]\displaystyle{ f }[/math] 是一个单射：[math]\displaystyle{ \forall y \forall x_1 \forall x_2 ((y = f(x_1) \land y = f(x_2)) \rightarrow x_1 = x_2) }[/math]
- [math]\displaystyle{ f }[/math] 是一个满射：[math]\displaystyle{ \forall y \in Y \exist x (y = f(x)) }[/math]
则称这个映射是 bijective 的，或称其是一个双射(bijection)或一一映射/一一对应（one-to-one correspondence）。 若将映射看作一个左全右唯一的关系，这一条件即要求其此外还需是右全且左唯一的。
由于双射在两个集合之间的性质是对称的，若语境中不需要指出具体映射，也不需要指出具体的方向，如“在 [math]\displaystyle{ X }[/math] 和 [math]\displaystyle{ Y }[/math] 之间存在一个双射(there exists a bijection between [math]\displaystyle{ X }[/math] and [math]\displaystyle{ Y }[/math])”。
记号
满射，也使用带有头部和双头部的箭头，如 [math]\displaystyle{ f: X \rightarrowtail\!\!\!\!\!\rightarrow Y }[/math] ，也使用带波浪线的箭头 [math]\displaystyle{ f: X \tilde{\rightarrow} Y }[/math]。 特别在图中经常被画成类似 [math]\displaystyle{ \rightarrowtail\!\!\!\!\!\rightarrow }[/math] 的箭头或在箭头上加波浪线。
| ⤖ | |
|---|---|
| 字符 | ⤖ |
| Unicode码位 | U+2916 Rightwards Two-Headed Arrow with Tail
|
性质
在映射的复合运算下，
- 双射一定是可逆映射。
- 可逆映射一定是双射。
| 映射 | |
|---|---|
| 定义属性 | 定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math] 、陪域、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math] |
| 特殊映射 | 空映射、常值映射、恒等映射[math]\displaystyle{ \mathrm{id}_\bullet }[/math]、包含映射[math]\displaystyle{ \iota }[/math] |
| 类型 | 单射、满射、双射 |
| 运算 | 复合[math]\displaystyle{ \circ }[/math]、迭代[math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]、逆映射（反函数）[math]\displaystyle{ \bullet^{-1} }[/math]、限制、延拓 |
琐事
名称
通常情况下， one-to-one mapping / function 指单射，而 one-to-one correspondence 指双射。