双射

双射
术语名称	双射
英语名称	bijection
别名	bijective function, 一一映射, 一一对应, one-to-one correspondence, 1-1 correspondence

双射(bijection)指一个映射既单又满。即对陪域中的每个元素，都有且仅有一个原像与其对应。尽管定义的标准不同，双射和可逆映射是等价概念。

定义

对映射 [math]\displaystyle{ f: X\to Y }[/math] ，若：

[math]\displaystyle{ f }[/math] 是一个单射：[math]\displaystyle{ \forall y \forall x_1 \forall x_2 ((y = f(x_1) \land y = f(x_2)) \rightarrow x_1 = x_2) }[/math]
[math]\displaystyle{ f }[/math] 是一个满射：[math]\displaystyle{ \forall y \in Y \exist x (y = f(x)) }[/math]

则称这个映射是 bijective 的，或称其是一个双射(bijection)或一一映射/一一对应（one-to-one correspondence）。若将映射看作一个左全右唯一的关系，这一条件即要求其此外还需是右全且左唯一的。

由于双射在两个集合之间的性质是对称的，若语境中不需要指出具体映射，也不需要指出具体的方向，如“在 [math]\displaystyle{ X }[/math] 和 [math]\displaystyle{ Y }[/math] 之间存在一个双射(there exists a bijection between [math]\displaystyle{ X }[/math] and [math]\displaystyle{ Y }[/math])”。

记号

满射，也使用带有头部和双头部的箭头，如 [math]\displaystyle{ f: X \rightarrowtail\!\!\!\!\!\rightarrow Y }[/math] ，也使用带波浪线的箭头 [math]\displaystyle{ f: X \tilde{\rightarrow} Y }[/math]。特别在图中经常被画成类似 [math]\displaystyle{ \rightarrowtail\!\!\!\!\!\rightarrow }[/math] 的箭头或在箭头上加波浪线。

⤖
字符	⤖
Unicode码位	`U+2916` Rightwards Two-Headed Arrow with Tail

性质

在映射的复合运算下，

双射一定是可逆映射。
可逆映射一定是双射。

映射
定义属性	定义域、陪域、值域
特殊映射	空映射、常值映射、恒等映射[math]\displaystyle{ \mathrm{id}_\bullet }[/math]、包含映射[math]\displaystyle{ \iota }[/math]
类型	单射、满射、双射
运算	复合[math]\displaystyle{ \circ }[/math]、迭代[math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]、逆映射（反函数）[math]\displaystyle{ \bullet^{-1} }[/math]、限制、延拓

琐事

名称

通常情况下， one-to-one mapping / function 指单射，而 one-to-one correspondence 指双射。