子幺半群

子幺半群(submonoid)指一个幺半群的某个子集也是幺半群，且结构上也是其一部分。要求这个子集有相同运算、相同幺元。

对幺半群而言，由于运算已经满足结合性，只要运算在子集上满足封闭性及有幺元就是半群了。由于同一运算的幺元唯一，因此还是要包含原来的幺元。

定义

对幺半群 [math]\displaystyle{ \langle S, \cdot, e \rangle }[/math] 及非空子集 [math]\displaystyle{ T\subseteq S }[/math] ，若：

运算 [math]\displaystyle{ \cdot }[/math] 在子集 [math]\displaystyle{ T }[/math] 上封闭，即 [math]\displaystyle{ (\forall a,b \in T)(a \cdot b \in T) }[/math] 。
幺元 [math]\displaystyle{ e }[/math] 在子集 [math]\displaystyle{ T }[/math] 中，即 [math]\displaystyle{ e \in T }[/math] 。

则代数系统 [math]\displaystyle{ \langle T, \cdot, e \rangle }[/math] 也是幺半群，称为子幺半群(submonoid)。

注：幺元以外的幂等元构成的单元素集也是子集、也是幺半群，但是两者幺元不同，结构有差异，此时不视为子幺半群。