包含关系

包含关系
术语名称	包含关系
英语名称	inclusion
别名	子集关系, 超集关系

包含关系(inclusion)，表示一个集合中的元素是否都是另一个集合中的元素。包含的一方是被包含一方的超集，被包含的一方是包含一方的子集。

记号

包含关系（子集关系）
关系名称	包含关系（子集关系）
关系符号	[math]\displaystyle{ \subseteq }[/math]
Latex	\subseteq
关系对象	集合
关系元数	2
类型	偏序

包含关系（超集关系）
关系名称	包含关系（超集关系）
关系符号	[math]\displaystyle{ \supseteq }[/math]
Latex	\supseteq
关系对象	集合
关系元数	2
类型	偏序

子集
术语名称	子集
英语名称	subset

超集
术语名称	超集
英语名称	superset

给定集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 、 [math]\displaystyle{ B }[/math] ，当集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 的元素都是集合 [math]\displaystyle{ B }[/math] 的元素，即有 [math]\displaystyle{ \forall x \in A (x \in B) }[/math] 时：

• 称“[math]\displaystyle{ A }[/math] 包含于 [math]\displaystyle{ B }[/math] ([math]\displaystyle{ A }[/math] is included in [math]\displaystyle{ B }[/math])”或者“[math]\displaystyle{ A }[/math] 是 [math]\displaystyle{ B }[/math] 的子集 ([math]\displaystyle{ A }[/math] is a subset of [math]\displaystyle{ B }[/math])”，记作[math]\displaystyle{ A \subseteq B }[/math]。
• 称“[math]\displaystyle{ B }[/math] 包含 [math]\displaystyle{ A }[/math] ([math]\displaystyle{ B }[/math] includes [math]\displaystyle{ A }[/math])”或者“[math]\displaystyle{ B }[/math] 是 [math]\displaystyle{ A }[/math] 的超集 ([math]\displaystyle{ B }[/math] is a superset of [math]\displaystyle{ A }[/math])”，记作[math]\displaystyle{ B \supseteq A }[/math]。

⊆
字符	⊆
Unicode码位	U+2286 Subset of or Equal to
Latex命令序列	\subseteq

⊇
字符	⊇
Unicode码位	U+2287 Superset of or Equal to
Latex命令序列	\supseteq

相对的情况相应地记作 [math]\displaystyle{ A \nsubseteq B }[/math] 和 [math]\displaystyle{ B \nsupseteq A }[/math] ，称为“不包含于(is not included in)”“不是……的子集(is not a subset of)”、“不包含(does not include)”“不是……的超集(is not a superset of)”。

⊈
字符	⊈
Unicode码位	U+2288 Neither a Subset of nor Equal to
Latex命令序列	\nsubseteq

⊉
字符	⊉
Unicode码位	U+2289 Neither a Superset of nor Equal to
Latex命令序列	\nsupseteq

真包含关系（真子集关系）
关系名称	真包含关系（真子集关系）
关系符号	[math]\displaystyle{ \subset }[/math]
Latex	\subset
关系对象	集合
关系元数	2
类型	拟序

真包含关系（真超集关系）
关系名称	真包含关系（真超集关系）
关系符号	[math]\displaystyle{ \supset }[/math]
Latex	\supset
关系对象	集合
关系元数	2
类型	拟序

真子集
术语名称	真子集
英语名称	proper subset
别名	strict subset

真超集
术语名称	真超集
英语名称	proper superset
别名	strict superset

进一步地，在 [math]\displaystyle{ A }[/math] 是 [math]\displaystyle{ B }[/math] 的子集的前提下，若集合 [math]\displaystyle{ B }[/math] 中存在不属于集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 的元素，即有 [math]\displaystyle{ \exists x \in B (x \notin A) }[/math] 时：

• 称“[math]\displaystyle{ A }[/math] 真包含于 [math]\displaystyle{ B }[/math] ([math]\displaystyle{ A }[/math] is properly/strictly included in [math]\displaystyle{ B }[/math])”或者“[math]\displaystyle{ A }[/math] 是 [math]\displaystyle{ B }[/math] 的真子集 ([math]\displaystyle{ A }[/math] is a proper/strict subset of [math]\displaystyle{ B }[/math])”，记作[math]\displaystyle{ A \subset B }[/math]。
• 称“[math]\displaystyle{ B }[/math] 真包含 [math]\displaystyle{ A }[/math] ([math]\displaystyle{ B }[/math] properly/strictly includes [math]\displaystyle{ A }[/math])”或者“[math]\displaystyle{ B }[/math] 是 [math]\displaystyle{ A }[/math] 的真超集 ([math]\displaystyle{ A }[/math] is a proper/strict superset of [math]\displaystyle{ B }[/math])”，记作[math]\displaystyle{ B \supset A }[/math]。

⊂
字符	⊂
Unicode码位	U+2282 Subset of
Latex命令序列	\subset

⊃
字符	⊃
Unicode码位	U+2283 Superset of
Latex命令序列	\supset

相对的情况相应地记作 [math]\displaystyle{ A \not\subset B }[/math] 和 [math]\displaystyle{ B \not\supset A }[/math] ，称为“不真包含于(is not properly/strictly included in)”“不是……的真子集(is not a proper/strict subset of)”、“不真包含(does not properly/strictly include)”“不是……的真超集(is not a proper/strict superset of)”。

⊄
字符	⊄
Unicode码位	U+2284 Not a Subset of
Latex命令序列	\not\subset

⊅
字符	⊅
Unicode码位	U+2285 Not a Superset of
Latex命令序列	\not\supset

性质

• 由定义，如果 [math]\displaystyle{ x \in A }[/math] 且 [math]\displaystyle{ A \subseteq B }[/math]，那么 [math]\displaystyle{ x \in B }[/math]。
• 包含关系是一种偏序关系。
  • 自反性：对于任意一个集合 [math]\displaystyle{ A }[/math]， [math]\displaystyle{ A \subseteq A }[/math]。
  • 反对称性：如果 [math]\displaystyle{ A \subseteq B }[/math] 且 [math]\displaystyle{ B \subseteq A }[/math]，那么 [math]\displaystyle{ A=B }[/math]。
  • 传递性：如果 [math]\displaystyle{ A \subseteq B }[/math] 且 [math]\displaystyle{ B \subseteq C }[/math]，那么 [math]\displaystyle{ A \subseteq C }[/math]。

琐事

变体

有的人会使用下加等号并划掉的方式 [math]\displaystyle{ A \subsetneq B }[/math] 或 [math]\displaystyle{ A \subsetneqq B }[/math] 来表达真包含关系。 有的人使用不带下划线的 [math]\displaystyle{ A \subset B }[/math] 表示普通的可能相等包含关系。

这里同一选择了和不等号规则一致的表示方法以减少混淆。

⊊
字符	⊊
Unicode码位	U+228A Subset of with not Equal to
Latex命令序列	\subsetneq

⊋
字符	⊋
Unicode码位	U+228B Superset of with not Equal to
Latex命令序列	\supsetneq

关于containment

包含关系也会使用 contain 来代替 include，但是使用 contains 、 set containment 等描述时，有可能指代集合的包含关系，也可能指代元素的成员关系，需要按上下文区分。

集合
特殊集合	空集[math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、全集
关系	成员关系/属于[math]\displaystyle{ \in }[/math]
	包含关系/子集/超集[math]\displaystyle{ \subseteq }[/math]、真包含关系/真子集/真超集[math]\displaystyle{ \subset }[/math]、相等关系[math]\displaystyle{ = }[/math]
运算	基础运算	交集[math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并集[math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补集[math]\displaystyle{ \bullet^\complement }[/math]（差集[math]\displaystyle{ \setminus }[/math]）
	复合运算	对称差集[math]\displaystyle{ \triangle }[/math]
	笛卡尔积运算	笛卡尔积[math]\displaystyle{ \times }[/math]、笛卡尔幂[math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]、幂集[math]\displaystyle{ \mathcal{P}(\bullet)/2^\bullet }[/math]、映射的集合[math]\displaystyle{ \bullet^\bullet }[/math]
	不交并运算	不交并[math]\displaystyle{ \sqcup }[/math]
	商运算	商集[math]\displaystyle{ \bullet/\sim }[/math]