幂塔

幂塔
术语名称	幂塔
英语名称	tetration
别名	超-4运算, hyper-4, 超幂, 迭代幂次

底数
术语名称	底数
英语名称	base

高度
术语名称	高度
英语名称	height

幂
术语名称	幂
英语名称	power
别名	方

幂塔/迭代幂次(tetration)是一个二元运算。

幂塔运算是第4级超运算，也就是说，自然数上的幂塔运算可以看作重复自然数的乘方运算，即“将一个数不断重复求以自身为底的幂”的简写。注意由于乘方运算不满足交换律，且幂为底的幂是指数积的幂，重复没有足够意义，因此不能是“重复以自身为指数的幂”。

幂塔一般限制在自然数上，且不是常见运算。

描述

幂塔
运算名称	幂塔
运算符号	[math]\displaystyle{ ^\bullet\bullet }[/math],[math]\displaystyle{ \uparrow\uparrow }[/math],[math]\displaystyle{ [4] }[/math]
Latex	^ , \uparrow\uparrow , [[LatexCmd::[4]]]
运算对象	数
运算元数	2
运算结果	数

表达一个数若干次乘方的运算称为幂塔(tetration)/迭代幂次(iterated/repeated exponentiation)。 其中，乘方的底数仍称为底数(base)或简称底，指示乘方次数的数被称为幂塔的高度(height)，结果仍称为幂(power)。 数 [math]\displaystyle{ a }[/math] 作为底数、数 [math]\displaystyle{ b }[/math] 作为高度的幂塔记作 [math]\displaystyle{ ^b a }[/math] ，读作 [math]\displaystyle{ a }[/math] 的 [math]\displaystyle{ b }[/math] 次幂塔 (the [math]\displaystyle{ b }[/math]th tetration of [math]\displaystyle{ a }[/math] / [math]\displaystyle{ a }[/math] (raised) to the [math]\displaystyle{ b }[/math]th tetration / [math]\displaystyle{ a }[/math] (raised) to the tetration of [math]\displaystyle{ b }[/math])。

使用高德纳箭头也记作 [math]\displaystyle{ a \uparrow\uparrow b }[/math] ，有时受到输入限制也简记作 a^^b。 使用超运算记号也记作 [math]\displaystyle{ a[4]b }[/math] 。

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字符	↑
Unicode码位	U+2191 Upwards Arrow
Latex命令序列	\uparrow

幂塔不是常见运算，几乎不会出现在普通的表达式中。

定义

超运算定义

对自然数 [math]\displaystyle{ a }[/math] ，对其进行 [math]\displaystyle{ b }[/math] 个自身间的乘方运算（超-3运算），得到的结果 [math]\displaystyle{ \underbrace{a ^ {a ^ {\cdot ^{\cdot ^ a}}} }_b }[/math] 简记作 [math]\displaystyle{ ^b a }[/math] ，是 [math]\displaystyle{ a }[/math] 和 [math]\displaystyle{ b }[/math] 的超-4运算，称为自然数的幂塔/迭代幂次。

性质

• 幂塔是第一个非初等的超运算。

超运算 [math]\displaystyle{ a[n]b }[/math] / [math]\displaystyle{ a\uparrow\dots\uparrow b }[/math]
级别 [math]\displaystyle{ n }[/math]	0	1	2	3	4	5	…
超运算	后继	加法	乘法	乘方	超幂/幂塔/迭代幂次	广义迭代幂次	…
对 [math]\displaystyle{ a }[/math] 逆运算	前趋	减法	除法	开方	超开方	…
对 [math]\displaystyle{ b }[/math] 逆运算				对数	超对数	…