解释（谓词逻辑）
| 解释 | |
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| 术语名称 | 解释 |
| 英语名称 | interpretation |
| 模型 | |
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| 术语名称 | 模型 |
| 英语名称 | model |
| 别名 | 解释, interpretation |
解释(interpretation)是对谓词公式的非逻辑符号取值。 即指定论域，并使其中所有个体常项、函项、谓词替换为论域上的具体对象。
与命题逻辑的解释不同，谓词公式中仅有闭式被解释后会变成命题。
解释过程中使用的论域及替换用的映射关系，加在一起也叫解释、结构(structure)或模型(model)。
定义
定义1
对谓词公式 [math]\displaystyle{ G }[/math] ，其解释(explanation) [math]\displaystyle{ \mathfrak{I} }[/math] ，包括：
- [math]\displaystyle{ D }[/math] 是非空集合，即论域(domain of discourse)或个体域(individual domain)；
- 将 [math]\displaystyle{ G }[/math] 中的每一个个体常项 [math]\displaystyle{ c }[/math] 映射到论域 [math]\displaystyle{ D }[/math] 中的元素；
- 将 [math]\displaystyle{ G }[/math] 中的每一个 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元函项 [math]\displaystyle{ f }[/math] 映射到论域 [math]\displaystyle{ D }[/math] 上的 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元映射；
- 将 [math]\displaystyle{ P }[/math] -语言中的每一个 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元谓词 [math]\displaystyle{ P }[/math] 映射到论域 [math]\displaystyle{ D }[/math] 上的 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元关系。
定义2（塔尔斯基语义学）
将谓词公式建模为 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_1 }[/math] 语言，其中有序对 [math]\displaystyle{ \mathfrak{I} = \left\langle D, I \right\rangle }[/math] 被称为一个 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_1 }[/math] -模型，也称为 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_1 }[/math] -解释 ，其中：
[math]\displaystyle{ D }[/math] 是非空集合，即论域(domain of discourse)或个体域(individual domain)；
[math]\displaystyle{ I }[/math] 是一个映射，且
- 将 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_1 }[/math] -语言中的每一个个体常项 [math]\displaystyle{ c }[/math] 映射到论域 [math]\displaystyle{ D }[/math] 中的元素 [math]\displaystyle{ I(c) }[/math]；
- 将 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_1 }[/math] -语言中的每一个 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元函项 [math]\displaystyle{ f }[/math] 映射到论域 [math]\displaystyle{ D }[/math] 上的 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元映射 [math]\displaystyle{ I(f) }[/math]；
- 将 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_1 }[/math] -语言中的每一个 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元谓词 [math]\displaystyle{ P }[/math] 映射到论域 [math]\displaystyle{ D }[/math] 上的 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元关系 [math]\displaystyle{ I(P) }[/math]。
通常简称为模型(model)或解释(interpretation)。
记号
解释 [math]\displaystyle{ \mathfrak{I} }[/math] 下的 [math]\displaystyle{ c, f, P }[/math] 的像通常记作 [math]\displaystyle{ c^\mathfrak{I}, f^\mathfrak{I}, P^\mathfrak{I} }[/math] 。
注意
模型也可以看作某个论域及其上的多元函数及谓词，也就是说代数系统的结构，因此也被称为一个结构(structure)。