公理（逻辑）

公理
术语名称	公理
英语名称	axiom

公理模式
术语名称	公理模式
英语名称	axiom schema

公理(axiom)指没有经过证明，被当作不证自明的命题。 若规定符合某形式的公式都是公理，则称为公理模式(axiom schema)。 公理在相关理论中其真实性理所当然，且是作为推导、演绎的起点。 在推理系统中，描述命题形式推理规则的称为逻辑公理， 其他涉及非逻辑部分的公理是非逻辑公理，也称为公设(postulate)。

对于被解释到真实场景中的推理系统，公理往往要求是这个系统中不证自明的命题。 但这些命题不总是能确认其成立的，比如平行公设。

定义

（形式化）推理系统中，通过变换规则从命题引入新的命题。由于变换规则本身不一定具有引入任意命题的能力，可以引入一些命题作为推理的起点，也就是公理系统（形式化公理系统），这些作为起点命题即称为公理系统中的公理。

“公理”一词有其他使用场景，其共同点是不需要被演绎证明，且用于演绎证明其他定理。

分类

• 描述公式中逻辑符号之间关系的公理称为逻辑公理。
• 描述公式中非逻辑符号之间关系的公理称为非逻辑公理或公设(postulate)。
• 数理逻辑中，给定公理系统语言中一个合式公式，约定将其中的项或命题变元替换为任何项或任何公式后，都是系统中的公理。这种情况下称为公理模式(axiom schema)。

证明论
形式化公理系统（形式化、公理化）
推理系统	Hilbert 风格/公理系统：Hilbert 表示
	Gentzen 风格-自然演绎系统： Gentzen 式自然演绎、 Fitch 式自然演绎、 Suppes–Lemmon 式自然演绎
	Gentzen 风格-相继式演算： Gentzen 式相继式演算
证明、演绎	演绎、可演绎、证明、可证明
命题、定理	公理/公理模式、定理、元定理、变形规则
推理规则性质	保存真实性、保存重言性
公理系统性质	可靠性、完备性/完全性、一致性、独立性