证明

证明
术语名称	证明
英语名称	proof

可证明的
术语名称	可证明的
英语名称	provable

定理
术语名称	定理
英语名称	theorem
别名	thesis

证明(proof)指某个推理系统的变形规则下，从空前提到某一结论的步骤。 对应地，这个步骤的存在性被称为可证明(provable)。 定理(theorem)即该系统中任一可证明的公式。

在证明论以外的语境下，无论有无前提均称为证明。但是在证明论中，与其范围一致的概念是演绎，只有其中无前提的部分才叫做证明。

定义

在指定形式化公理系统 [math]\displaystyle{ \mathbf{H} }[/math] 中，从空集 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math] 到公式 [math]\displaystyle{ \phi }[/math] 的一个演绎，即对公式 [math]\displaystyle{ \phi }[/math] ，满足下列条件的公式序列 [math]\displaystyle{ \phi_0, \phi_1, \dots, \phi_n }[/math] ：

• [math]\displaystyle{ \phi_n = \phi }[/math]；
• 对任意 [math]\displaystyle{ k \lt n }[/math]， [math]\displaystyle{ \phi_k }[/math] 符合以下任一条件：
  • 是 [math]\displaystyle{ \mathbf{H} }[/math] 中的公理；
  • 能运用 [math]\displaystyle{ \mathbf{H} }[/math] 中的推理规则从 [math]\displaystyle{ \phi_0, \dots, \phi_{k-1} }[/math] 得到。

这样的公式序列 [math]\displaystyle{ \phi_0, \phi_1, \dots, \phi_n }[/math] 是 [math]\displaystyle{ \mathbf{H} }[/math] 中公式 [math]\displaystyle{ \phi }[/math] 的一个证明(proof)。

对任意公式 [math]\displaystyle{ \phi }[/math] ，以下条件等价：

• 公式 [math]\displaystyle{ \phi }[/math] 可从空集演绎（[math]\displaystyle{ \varnothing \vdash \phi }[/math]）；
• 存在从空集到 [math]\displaystyle{ \phi }[/math]的演绎；
• 存在 [math]\displaystyle{ \mathbf{H} }[/math] 中 [math]\displaystyle{ \phi }[/math] 的证明。

此时称 [math]\displaystyle{ \phi }[/math] 是 [math]\displaystyle{ \mathbf{H} }[/math] 中 可证明的(provable)，记作 [math]\displaystyle{ \vdash \phi }[/math] ，并称 [math]\displaystyle{ \phi }[/math] 为 [math]\displaystyle{ \mathbf{H} }[/math] 中的定理(theorem, thesis)。

性质

• 演绎定理的特例： [math]\displaystyle{ A\vdash B }[/math] 当且仅当 [math]\displaystyle{ \vdash A\rightarrow B }[/math] 。
• 作为特殊的演绎，在各推理系统中公式序列的表现：
  • Hilbert 表示：在演绎过程中仅会出现公理及其直接变形，不存在提及假设的步骤。
  • Gentzen 式自然演绎：证明树中所有叶结点都是公理或被解除的假设。
  • Fitch 式自然演绎：根证明中不存在前提，子证明中的假设都随着子证明结束而解除。
  • Suppes–Lemmon 式自然演绎：结论依赖的行都是公理。
  • Gentzen 式相继式演算：证明数中所有叶结点都是公理，通常是 [math]\displaystyle{ A\vdash A }[/math] 的形式。

证明论
形式化公理系统（形式化、公理化）
推理系统	Hilbert 风格/公理系统：Hilbert 表示
	Gentzen 风格-自然演绎系统： Gentzen 式自然演绎、 Fitch 式自然演绎、 Suppes–Lemmon 式自然演绎
	Gentzen 风格-相继式演算： Gentzen 式相继式演算
证明、演绎	演绎、可演绎、证明、可证明
命题、定理	公理/公理模式、定理、元定理、变形规则
推理规则性质	保存真实性、保存重言性
公理系统性质	可靠性、完备性/完全性、一致性、独立性