假言易位律
| 假言易位律 | |
|---|---|
| 术语名称 | 假言易位律 |
| 英语名称 | contraposition |
| 别名 | transposition, 换质换位律, 逆否命题 |
假言易位律(contraposition, transposition)是命题逻辑、谓词逻辑定理之一，逆否命题(contraposition, transposition)指一个条件命题（或古典逻辑的假言命题）交换前后件并否定前后件得到的命题，这一定理说明任一逆否命题与原命题等价。
也称换质换位，特别是古典逻辑（词项逻辑）中将其看作直言命题的情况下，见对应词条。直言命题中同时改变联项和谓项（“是 p”变为“不是非 p”）的操作称为换质；而对 E 和 I 交换两个词项（主项和谓项，都是现代逻辑中的谓词）位置的操作称为换位。在这一视角下，假言易位就是换质和换位连续进行的结果，因此称为换质换位。现代一般提到换质换位以及逆否命题时，指的是命题逻辑范围内的形式，不需要上述直言命题中的量词和个体词部分。但现在使用这一术语很少指代这种谓词逻辑结构的命题，基本处于命题逻辑范围。
定理
永真式 [math]\displaystyle{ \vDash (P \rightarrow Q) \leftrightarrow (\lnot Q \rightarrow \lnot P) }[/math] 称为假言易位律(contraposition, transposition)。
两个方向也分别称为：
- 假言易位： [math]\displaystyle{ \vDash (P \rightarrow Q) \rightarrow (\lnot Q \rightarrow \lnot P) }[/math] ；
- 逆假言易位： [math]\displaystyle{ \vDash (\lnot Q \rightarrow \lnot P) \rightarrow (P \rightarrow Q) }[/math] 。
意义
- 在自然演绎系统中，假言易位律对应重要的推理规则：
- 假言易位： [math]\displaystyle{ P \rightarrow Q \vdash \lnot Q \rightarrow \lnot P }[/math]
- 逆假言易位： [math]\displaystyle{ \lnot Q \rightarrow \lnot P \vdash P \rightarrow Q }[/math]
- 假言易位律是间接证明的逻辑基础：
- 要证明 [math]\displaystyle{ P \rightarrow Q }[/math] ，可以通过证明其逆否命题 [math]\displaystyle{ \lnot Q \rightarrow \lnot P }[/math] 来实现。
- 该定理给出了条件命题中前件和后件之间的转化，说明充分条件、必要条件实际上地位对称，有相似性。
非经典逻辑中的情况
- 古典逻辑中完全接受假言易位律，认为条件命题与其逆否命题完全等价。
- 直觉主义逻辑中，部分接受假言易位律：
- 仅接受 [math]\displaystyle{ (P \rightarrow Q) \rightarrow (\lnot Q \rightarrow \lnot P) }[/math] 。
- 只会得到 [math]\displaystyle{ (\lnot Q \rightarrow \lnot P) \rightarrow (\lnot\lnot P \rightarrow \lnot\lnot Q) }[/math] 。
- 多值逻辑中，假言易位律的成立取决于蕴含算子的定义。