同余关系（代数系统）

同余关系
术语名称	同余关系
英语名称	congruence relation
别名	同余, congruence

同余类
术语名称	同余类
英语名称	congruence class

同余关系(congruence relation)指被代数系统中的运算保持（相容）的等价关系。 同余关系所划分出的等价类也称为同余类。

定义

对代数系统 [math]\displaystyle{ \langle A, \bullet \rangle }[/math] 及集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 上的关系 [math]\displaystyle{ \sim \subseteq A\times A }[/math] ，若

• 相容： [math]\displaystyle{ (\forall a, a', b, b' \in A)(a \sim a' \land b \sim b' \rightarrow a \bullet b \sim a' \bullet b') }[/math]，
• [math]\displaystyle{ \sim }[/math] 是等价关系，

则称关系 [math]\displaystyle{ \sim }[/math] 是代数系统 [math]\displaystyle{ \langle A, \bullet \rangle }[/math] 上的一个同余关系(congruence relation)，或简称一个同余(congruence)。同余关系中的等价类称为同余类(congruence class)。

注：代数系统上的同余关系可以看作整数上的同余关系的抽象。

注：这里的相容也有人使用更弱的定义， [math]\displaystyle{ (\forall a, b, c \in A) (a \sim b \rightarrow a\bullet c \sim b\bullet c) \land (\forall a, b, c \in A) (a \sim b \rightarrow c\bullet a \sim c \bullet b) }[/math]