划分

划分
术语名称	划分
英语名称	partition
别名	分划

集合的划分(partition of a set)指对一个集合，不重复、不遗漏其中元素的非空子集所构成的集合。

定义

对集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] ，若有集族 [math]\displaystyle{ P = \{A_i\mid i\in I\} }[/math] 满足：

1. 非空：[math]\displaystyle{ A_i \neq \varnothing }[/math]
2. 覆盖：[math]\displaystyle{ \bigcup_{i\in I} A_i = A }[/math]
3. 不交：[math]\displaystyle{ \forall i \forall j ((i \in I \land j \in I \land i \neq j) \rightarrow A_i \cap A_j = \varnothing) }[/math]

则称 [math]\displaystyle{ P }[/math] 是 [math]\displaystyle{ A }[/math] 的一个划分（partition）。

注意：

• 以上定义为标准定义，但也存在不一致的说法。有些定义中要求 [math]\displaystyle{ A }[/math] 非空，也有极少数定义中不要求 [math]\displaystyle{ A_i }[/math] 非空。
• 覆盖条件隐性地要求了子集关系。有的定义中也会明确指出这些集合是子集，但不是必须的。

性质

一个集合的划分和这个集合上的等价关系等价。 划分诱导了一个等价关系，其中元素等价当且仅当它们在划分中的同一个集合中； 集合上等价关系中，所规定的等价类也一定构成这个集合的一个划分。

特例

对任意非空集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] ，集合 [math]\displaystyle{ \{ A \} }[/math] 总是其一个划分，称为平凡划分(trivial partition)。

对于空集 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math] ，仅存在一个划分 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math] ，即空集族（注意，一般要求子集非空，所以不是 [math]\displaystyle{ \{\varnothing\} }[/math]）。 因为空集没有任何非空子集，所以空集的划分中当然也不存在任何能够作为集族元素的原集合子集，这个集族是空的。

对非空集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 及其非空真子集 [math]\displaystyle{ B }[/math] ， [math]\displaystyle{ \{B, A \setminus B \} }[/math] 就是一个划分。

等价关系
等价	划分
结构	等价类、setoid、商集、自然映射