商高方程

商高方程
术语名称	商高方程
英语名称	Pythagorean equation
别名	Pythagoras equation

勾股数
术语名称	勾股数
英语名称	Pythagorean triple
别名	商高数, 毕达哥拉斯数

商高方程或毕达哥拉斯方程(Pythagorean equation)，指具有勾股定理（商高定理）形式的齐次不定方程，即 [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 = z^2 }[/math] 。

满足商高方程的三个正整数被称为一组勾股数、商高数或毕达哥拉斯数(Pythagorean triple)。

定义

三元二次不定方程 [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 = z^2 }[/math] ，或写作 [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 - z^2 = 0 }[/math] ，被称为商高方程或毕达哥拉斯方程(Pythagorean equation)。

解

解的结构

不定方程 [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 = z^2 }[/math] ，显然有 [math]\displaystyle{ 0, \pm a, \pm a }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \pm a, 0, \pm a }[/math] 两组解，称为其平凡解(trivial solution)，其他整数解称为其非平凡解(nontrivial solution)。特别地，构成其正整数解的三个数被称为一组勾股数、商高数或毕达哥拉斯数(Pythagorean triple)。

素勾股数
术语名称	素勾股数
英语名称	primitive Pythagorean triple
别名	互质勾股数, 本原勾股数

不定方程 [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 = z^2 }[/math] ，如果一组 [math]\displaystyle{ x_0, y_0, z_0 }[/math] 是其一组解，则 [math]\displaystyle{ \pm k x_0, \pm k y_0, \pm k z_0 }[/math] 也是其一组解，因此可以只考虑三个数为互质正数的情况，称为其本原解(primitive solution)。构成本原解的三个正整数被称为一组素勾股数、互质勾股数或本原勾股数(primitive Pythagorean triple)。

引理

不定方程 [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 = z^2 }[/math] 的本原解满足：

• [math]\displaystyle{ \operatorname{gcd}(x, y) = \operatorname{gcd}(y,z) = \operatorname{gcd}(z, x) = 1 }[/math] 。
• [math]\displaystyle{ 2 \not\mid x + y }[/math] 。

欧几里得公式

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欧几里得公式
术语名称	欧几里得公式
英语名称	Euclid's formula

不定方程 [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 = z^2 }[/math] 的全体本原解为：

[math]\displaystyle{ \left\{ \begin{aligned} x &= m^2 - n^2 \\ y &= 2 m n \\ z &= m^2 + n^2 \\ \end{aligned} \right. }[/math]

其中 [math]\displaystyle{ m \gt n \gt 0, \operatorname(m, n) = 1, 2 \not\mid m + n }[/math] ，即 [math]\displaystyle{ m,n }[/math] 为奇偶性不同的互质正整数。

这一公式称为欧几里得公式(Euclid's formula)。

全体勾股数

在上式基础上，可知全部的勾股数为：

[math]\displaystyle{ \left\{ \begin{aligned} x &= k (m^2 - n^2) \\ y &= k \cdot 2 m n \\ z &= k (m^2 + n^2) \\ \end{aligned} \right. }[/math]

其中 [math]\displaystyle{ m \gt n \gt 0, \operatorname(m, n) = 1, 2 \not\mid m + n }[/math] ，即 [math]\displaystyle{ m,n }[/math] 为奇偶性不同的互质正整数， [math]\displaystyle{ k }[/math] 为任意正整数。

几何意义

商高三角形

商高三角形
术语名称	商高三角形
英语名称	Pythagorean triangle
别名	毕达哥拉斯三角形

三边长均为整数的直角三角形称为商高三角形或毕达哥拉斯三角形(Pythagorean triangle)。

全体正整数解 [math]\displaystyle{ x, y, z }[/math] 给出了所有可能的商高三角形的直角边长 [math]\displaystyle{ x, y }[/math] 和斜边长 [math]\displaystyle{ z }[/math] 取值。

本原商高三角形
术语名称	本原商高三角形
英语名称	primitive Pythagorean triple
别名	本原毕达哥拉斯三角形

特别地，全体本原解给出的三角形，即三边长互质的商高三角形，被称为本原商高三角形或本原毕达哥拉斯三角形(primitive Pythagorean triangle)。

有理点

全体本原解 [math]\displaystyle{ x, y, z }[/math] 给出了单位圆 [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 = 1 }[/math] 上的全体有理点 [math]\displaystyle{ \left( \tfrac{x}{z}, \tfrac{y}{z} \right) }[/math] 。

不定方程
一次	一次不定方程	二元一次不定方程、多元一次不定方程
齐次	齐次不定方程	商高方程、Fermat 大定理
指数	-
其他结论	Lagrange 四平方和定理	Fermat 二平方定理