多元一次不定方程

多元一次不定方程是普遍的一次不定方程的形式，具有形式 [math]\displaystyle{ a_1 x_1 + a_2 x_2 + \dots + a_n x_n = a_0 }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ a_0, a_1, a_2, \dots, a_n }[/math] 是给定整数。

定义

形如 [math]\displaystyle{ a_1 x_1 + a_2 x_2 + \dots + a_n x_n = a_0 }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ a_0, a_1, a_2, \dots, a_n }[/math] 为整数的不定方程，称为一次不定方程。

解

未知数数量大于 2 的一次不定方程 [math]\displaystyle{ a_1 x_1 + a_2 x_2 + \dots + a_n x_n = a_0 }[/math] 可被处理为 [math]\displaystyle{ (n-1) }[/math] 个二元一次不定方程构成的不定方程组。

[math]\displaystyle{ \begin{cases} a_1 x_1 + a_2 x_2 = d_2 b_2 {\color{lightgray} = \operatorname{gcd}(a_1, a_2) b_2 } \\ d_2 b_2 + a_3 x_3 = d_3 b_3 {\color{lightgray} = \operatorname{gcd}(a_1, a_2, a_3) b_3 } \\ \dots \\ d_{n-2} b_{n-2} + a_{n-1} x_{n-1} = d_{n-1} b_{n-1} {\color{lightgray} = \operatorname{gcd}(a_1, a_2, \dots, a_{n-1}) b_n } \\ d_{n-1} b_{n-1} + a_n x_n = a_0 \end{cases} }[/math]

，其中 [math]\displaystyle{ d_s = \operatorname{gcd}(a_1, a_2, \dots, a_s) }[/math] 。因此可以通过二元一次不定方程的解的情况来解这个不定方程组。

有解条件

一次不定方程 [math]\displaystyle{ a_1 x_1 + a_2 x_2 + \dots + a_n x_n = a_0 }[/math] 有整数解，当且仅当 [math]\displaystyle{ \operatorname{gcd}(a_1, a_2, \dots, a_n) \mid a_0 }[/math] 。

解法

考虑这 [math]\displaystyle{ (n-1) }[/math] 个不定方程的整数通解。

前 [math]\displaystyle{ (n-2) }[/math] 个不定方程 [math]\displaystyle{ d_{s-1} b_{s-1} + a_s x_s = d_s b_s }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ s = 2, 3, \dots, n-1 }[/math] 。这些方程对变量 [math]\displaystyle{ b_{s-1}, x_s }[/math] ，由于 [math]\displaystyle{ d_s }[/math] 是 [math]\displaystyle{ \operatorname{gcd}(d_{s-1},a_s) }[/math] 可以约去得到 [math]\displaystyle{ d'_{s-1} b_{s-1} + a'_s x_s = b_s }[/math] ，其右侧是关于 [math]\displaystyle{ b_s }[/math] 的代数式，且左侧没出现，必然不可消去，其特解必然符合 [math]\displaystyle{ \begin{cases}b_{s-1,0} = u_s b_s \\ x_{s,0} = v_s b_s \end{cases} }[/math] 的形式，且回代后满足 [math]\displaystyle{ d'_{s-1} u_s {\color{lightgray} b_s} + a'_s v_s {\color{lightgray} b_s} = 1 {\color{lightgray} b_s} }[/math] 。同时方程的整数通解中还会引入一个自由变量 [math]\displaystyle{ t_s }[/math] 。因此其整数通解解会符合 [math]\displaystyle{ \begin{cases} b_{s-1} = u_s b_s + a_s t_s \\ x_s = v_s b_s - d_{s-1} t_s \end{cases} }[/math] 的形式。

可注意到最后的不定方程 [math]\displaystyle{ d_{n-1} b_{n-1} + a_n x_n = a_0 }[/math] 不含变量，有 [math]\displaystyle{ \begin{cases} b_{n-1} = u_n + a_n t_n \\ x_n = v_n - d_{n-1} t_n \end{cases} }[/math] 的形式。

最后，依次将 [math]\displaystyle{ b_s, s=2,3,\dots, n-1 }[/math] 的通解形式其代入不定方程 [math]\displaystyle{ d_{s-1} b_{s-1} + a_s x_s = d_s b_s }[/math] 的整数通解 [math]\displaystyle{ \begin{cases} b_{s-1} = u_s b_s + a_s t_s \\ x_s = v_s b_s - d_{s-1} t_s \end{cases} }[/math] 中，得到 [math]\displaystyle{ b_{s-1} }[/math] 和 [math]\displaystyle{ x_s }[/math] 的表达式。

因此， [math]\displaystyle{ x_s }[/math] 最终的表达式是含有 [math]\displaystyle{ t_s, t_{s+1}, \dots, t_n }[/math] 的线性多项式。

非负解、正解

当未知数数量大于 2 时，多元一次不定方程的非负解或正解情况，是一个未解决问题，称为弗罗贝尼乌斯问题(Frobenius problem)。

不定方程
一次	一次不定方程	二元一次不定方程、多元一次不定方程
齐次	齐次不定方程	商高方程、Fermat 大定理
指数	-
其他结论	Lagrange 四平方和定理	Fermat 二平方定理