Lagrange 四平方和定理

拉格朗日四平方和定理
术语名称	拉格朗日四平方和定理
英语名称	Lagrange's four-square theorem

拉格朗日四平方和定理(Lagrange's four-square theorem)指任意自然数可以被表示成四个完全平方数之和。

定理

每个正整数一定可被表为四个平方数之和，即对任意 [math]\displaystyle{ n \geq 1 }[/math] ，不定方程 [math]\displaystyle{ x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = n }[/math] 有解。

Euler 四平方和恒等式：两个四平方和的积仍然是四平方和。

Legendre 三平方和定理：正整数可被表为三个平方数之和当且仅当不能被表示为 [math]\displaystyle{ 4^a (8b + 7) }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ a,b }[/math] 是自然数。

仅有 [math]\displaystyle{ 1,3,5,9,11,17,29,41 }[/math] 及形如 [math]\displaystyle{ 2 \cdot 4^k, 6 \cdot 4^k, 14 \cdot 4^k }[/math] 的数不能被表示为四个非零完全平方数之和。

仅有以下 12 个数 [math]\displaystyle{ 1,2,3,4,6,7,9,10,12,15,18,33 }[/math] 不能被表示为五个非零完全平方数之和。