单元素集

单元素集
术语名称	单元素集
英语名称	singleton set
别名	单点集, one-point set

单元素集(singleton set)，或单点集(one-point set)，是指一个基数为1的集合，即有且仅含有一个元素的集合。

定义

满足以下几种等价条件的集合称为单元素集(singleton set)或单点集(one-point set)。

• 如果 [math]\displaystyle{ a }[/math] 是一个对象，那么存在集合 [math]\displaystyle{ \{a\} }[/math] ，集合中唯一一个元素是 [math]\displaystyle{ a }[/math] 。（在 ZF 公理系统中是对集公理的推论；在其他系统中有时作为公理，被称为单元素集公理）
• 只存在一个非空子集的集合。
• 只存在平凡子集的非空集合，即不存在空集及自身以外其他子集的集合。
• 只存在一种划分的非空集合。

性质

• 集合是单元素集当且仅当其基数为 1 [math]\displaystyle{ \operatorname{card}(\{a\})=1 }[/math] 。
• 单元素集幂集是双元素集 [math]\displaystyle{ \mathcal{P}(\{a\})=\{\varnothing,\{a\}\} }[/math] 。
• 单元素的集族的广义并、广义交都是对应元素。

集合
特殊集合	空集 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、全集
关系	成员关系/属于 [math]\displaystyle{ \in }[/math]
	包含关系/子集/超集 [math]\displaystyle{ \subseteq }[/math]、真包含关系/真子集/真超集 [math]\displaystyle{ \subset }[/math]、相等关系 [math]\displaystyle{ = }[/math]
运算	基础运算	交集 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并集 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补集 [math]\displaystyle{ \bullet^\complement }[/math]（差集 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]）
	复合运算	对称差集 [math]\displaystyle{ \triangle }[/math]
	笛卡尔积运算	笛卡尔积 [math]\displaystyle{ \times }[/math]、笛卡尔幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]、幂集 [math]\displaystyle{ \mathcal{P}(\bullet) }[/math]/[math]\displaystyle{ 2^\bullet }[/math]、映射的集合 [math]\displaystyle{ \bullet^\bullet }[/math]
	不交并运算	不相交并集 [math]\displaystyle{ \sqcup }[/math]
	商运算	商集 [math]\displaystyle{ \bullet/\sim }[/math]