绝对值
| 绝对值 | |
|---|---|
| 术语名称 | 绝对值 |
| 英语名称 | absolute value |
| 别名 | 绝对值函数, absolute value function |
绝对值(absolute value)指一个数中符号以外的部分，或者说其到 0 或原点的距离。
一些可视为绝对值的扩展、且使用相同记号的运算， 如复数的模及向量的长度等， 也有时称为绝对值，但应当视为不同的运算。
定义
对实数 [math]\displaystyle{ a }[/math] （或整数、有理数），定义分段函数
[math]\displaystyle{ |a|=\begin{cases} a &, a \gt 0 \\ 0 &, a = 0 \\ -a &, a \lt 0 \end{cases} }[/math]
称为数 [math]\displaystyle{ a }[/math] 的绝对值(absolute value)，记作 [math]\displaystyle{ |a| }[/math] 或 [math]\displaystyle{ \operatorname{abs} a }[/math] 。
| 绝对值 | |
|---|---|
| 运算名称 | 绝对值 |
| 运算符号 | [math]\displaystyle{ |\bullet| }[/math],[math]\displaystyle{ \operatorname{abs} }[/math] |
| Latex | |
| 运算对象 | 实数 |
| 运算元数 | 1 |
| 运算结果 | 非负实数 |
| 定义域 | [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] |
| 陪域 | [math]\displaystyle{ \mathbb{R}_{\geq 0} }[/math] |
将数映射到其绝对值的函数也称为绝对值函数。
| 绝对值 | |
|---|---|
| 函数名称 | 绝对值函数 |
| 函数符号 | [math]\displaystyle{ \operatorname{abs} }[/math] |
| Latex | \operatorname{abs}
|
| 类型 | |
| 定义域 | [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] |
| 陪域 | [math]\displaystyle{ \mathbb{R}_{\geq 0} }[/math] |
注：绝对值一般独立定义，先于距离。但是在不同体系中，根据定义顺序，也存在以下定义方式：
- 绝对值可以定义为：与 0 或原点的距离 [math]\displaystyle{ |x-0| }[/math] 。（先定义小于关系再定义距离再定义绝对值）
- 绝对值可以定义为：数与其符号的乘积 [math]\displaystyle{ x \operatorname{sgn} x }[/math] 。（先定义符号再定义绝对值）
- 绝对值可能与相应数系一同定义。
性质
- 实数是符号与绝对值的乘积： [math]\displaystyle{ x = |x| \operatorname{sgn} x }[/math]
- 绝对值（距离）是对应空间的度量
- 正定性： [math]\displaystyle{ |a| \geq 0 }[/math]
- 对称性： [math]\displaystyle{ |a-b| = |b-a| }[/math]
- 三角不等式： [math]\displaystyle{ \left|a-b\right| + \left|b-c\right| \geq \left|a-c\right| }[/math] （称为绝对值三角不等式）
- 绝对值运算吸收相反数运算： [math]\displaystyle{ |a| = |-a| }[/math]