补码

补码
术语名称	补码
英语名称	two's complement
别名	2's complement

补码(two's complement)是一种计算机内的有符号整数表示方法（机器数）。在补码中 [math]\displaystyle{ n }[/math] 位二进制位中的最高位(most significant bit, MSB)被留作符号位(sign bit)，剩下的 [math]\displaystyle{ (n-1) }[/math] 位用于容纳包含 0 在内的各 [math]\displaystyle{ 2^{n-1} }[/math] 个数，并使用绝对值的二进制表示，若符号位为 - ，将绝对值减一再按位取反。

由于在四种有符号整数的表达中运算最为简洁，是最常见的有符号整数表示。

定义

补码(two's complement)指用 [math]\displaystyle{ n }[/math] 位二进制位构成的机器数表示有符号数的方法，其中将其最高位留作符号位，剩余 [math]\displaystyle{ (n-1) }[/math] 位作为绝对值部分：

符号位取 0 时表示符号为 + ，符号位取 1 时表示符号为 - 。
绝对值部分取值取反加一表示数的绝对值。若绝对值为 [math]\displaystyle{ x }[/math] 则表示为 [math]\displaystyle{ 2^{n-1}-x }[/math] 。

由于符号位作为二进制数的一部分也可以看成是 [math]\displaystyle{ +2^{n-1} }[/math] ，也可以表述为对任意 [math]\displaystyle{ x }[/math] ，其表示为 [math]\displaystyle{ \begin{cases}x&, x\geq 0\\ 2^n+x &, x\lt 0 \end{cases} }[/math] 。

具体对应：

[math]\displaystyle{ 0;00\cdots0 }[/math] 到 [math]\displaystyle{ 0;11\cdots1 }[/math] 对应 [math]\displaystyle{ +0 }[/math] 到 [math]\displaystyle{ +2^{n-1}-1 }[/math] 。
[math]\displaystyle{ 1;11\cdots1 }[/math] 到 [math]\displaystyle{ 0;00\cdots0 }[/math] 对应 [math]\displaystyle{ -1 }[/math] 到 [math]\displaystyle{ -2^{n-1} }[/math] 。

注意： [math]\displaystyle{ 2^n }[/math] 个数所对应的真值有 [math]\displaystyle{ 2^n }[/math] 个不同的，真值范围为 [math]\displaystyle{ -2^{n-1}, \cdots, 2^{n-1}-1 }[/math] 。需要注意的是 [math]\displaystyle{ -2^{n-1} }[/math] 在范围内，而 [math]\displaystyle{ 2^{n-1} }[/math] 则不在。

补码运算

将机器数表示本身视为二进制数，则可以认为从数本身到机器数的映射关系为：

[math]\displaystyle{ x \mapsto \begin{cases} x &, x \geq 0 \\ (2^{n-1}-1-x)+2^{n-1} = 2^n+x &, x \leq 0 \\ \end{cases} }[/math]

补码相反数

由于对二进制数 [math]\displaystyle{ a_{n-1} a_{n-2} \cdots a_1 a_0 }[/math] 取反的 [math]\displaystyle{ \bar{a}_{n-1} \bar{a}_{n-2} \cdots \bar{a}_1 \bar{a}_0 }[/math] 会满足 [math]\displaystyle{ 1 - a_i = \bar{a}_i }[/math] ，实际上相当于用二进制数 [math]\displaystyle{ (11\cdots 11)_2 = 2^n-1 }[/math] 减去原数，这个数与上式中的被减数相差 1 。也就是说， [math]\displaystyle{ -x }[/math] 的反码表示就是 [math]\displaystyle{ x }[/math] 的反码表示按位取反再加一。

反码加减法

+	[math]\displaystyle{ b\geq 0, b'=b }[/math]	[math]\displaystyle{ b\lt 0, b'=2^n+b }[/math]
[math]\displaystyle{ a\geq 0, a'=a }[/math]	[math]\displaystyle{ (a+b)'=a+b=a'+b' }[/math]	[math]\displaystyle{ (a+b)'=\begin{cases} a'+b'-2^n &,a+b\geq 0 \\ a'+b' &,a+b\lt 0 \end{cases} }[/math]
[math]\displaystyle{ a\lt 0, a'=2^n+a }[/math]	[math]\displaystyle{ (a+b)'=\begin{cases} a'+b'-2^n &,a+b\geq 0 \\ a'+b' &,a+b\lt 0 \end{cases} }[/math]	[math]\displaystyle{ (a+b)'=2^n+a+b=a'+b'-2^n }[/math]

不考虑两数相加时超过表达上限的情况（即数字溢出），分析数字和的表示与两个数字的分别表示关系如上表。可以看到，如果没有超过上限，所有的位上都可以通过直接相加，并适当地减去 [math]\displaystyle{ 2^n }[/math] 以保证表示落在范围内，以达到实际的表示。考虑到表示中 [math]\displaystyle{ 2^n }[/math] 刚好是进行加法时最高位溢出到了更前方，无法保存这一位，就是自动执行了 [math]\displaystyle{ -2^n }[/math] ，也就是说，只要抛弃溢出位，就能得到正确的表示。

因此，补码加法就是其机器数作为二进制数时，抛弃溢出位进位的加法。

同样，在进行减法时，除了取反加一再相加外也可以通过机器数相减，而且当最高位不够减需要借位时，也可以从前一位虚空补上一个 1 。

补码减法就是其机器数作为二进制数时，抛弃溢出位借位的减法。

数的内部表示
十进制数的二进制编码	BCD 、 Gray 码、奇偶校验码、字符表示
有符号整数的机器数	原码、反码、补码、移码
有符号小数的机器数	定点数、浮点数（IEEE 754）