定点数

定点数
术语名称	定点数
英语名称	fixed-point number

定点整数
术语名称	定点整数
英语名称	fixed-point integer

定点小数
术语名称	定点小数
英语名称	fixed-point fraction

定点数(fixed-point number)是一类计算机内的数的表示方法（机器数）的统称。根据语境不同有两种层次含义。字面上地，约定固定的十进制或二进制的小数点位置，使要表示的数可以表示为整数；也广义地指，约定固定的缩放因子，使要表示的数可以表示为整数。前一种情况也可以看成缩放因子固定为 10 的幂或 2 的幂的后一种情况，即进行“十进制缩放”与“二进制缩放”。

例如，如果原数据表达的是以元为单位的商品单价，也就是说所有的数最多只会有小数点后两位。如果我们约定所有的小数点都被移动两位，或者说约定缩放因子为 1/100 ，就可以使用整数精确地表达原数据。

特别地，在缩放因子为 1 时，这一表示被称为定点整数；而缩放因子取整数时，无论其整数部分任意变化，真值都是整数，也称为（广义的）定点整数(fixed-point integer)。与其相对的情况，缩放因子不是整数时，称为定点小数(fixed-point decimal)。

需要注意，由于“定点数 / fixed-point”一词根据常出现的语境不同，使用的通常定义有差别，其中定点整数和 fixed-point integer 的指代范围也随之存在差异。考虑到两个短语有相同的字面含义和核心范围，且都和浮点数相对，本 wiki 中将其合入同一条目。
在中文语境中，“定点数”更经常出现在计算机体系结构和硬件设计相关的知识上下文中。在这种情况下会严格采取前一种含义，“定点整数”也会严格指小数点就在最后一位数后的格式，也就是最常见的硬件整数表示形式。
在英文语境中，“fixed-point”更多地出现在算法、数值计算、财务计算应用等场景下，这些情况会采取后一种解释，也就是带缩放因子的整数，而定点整数也会使用广义的范围，指整数缩放因子的定点数。

定义

定点数(fixed-point number)是一类实数表示法，其将二进制下或十进制下小数点固定于某一位置，并存储一个整数 [math]\displaystyle{ I }[/math] 。形式上，固定小数点位置相当于在整数基础上乘以一个数，称为缩放因子 [math]\displaystyle{ S }[/math] 。此时整数 [math]\displaystyle{ I }[/math] 所表示的真值为 [math]\displaystyle{ V= IS }[/math] 。

定点整数

常见的整数表示，可以认为是约定小数点在最后一位后，或者说缩放因子 [math]\displaystyle{ S=1 }[/math] ，也视为一种定点数，此时称为定点整数。由于其无小数部分，也被称为定点纯整数。

广义定点整数

对 [math]\displaystyle{ S\gt 1 }[/math] 的整数，所有的整数代表的真值都是一个缩放后的整数，此时也称为（广义的）定点整数(fixed-point integer)或缩放整数(scaled integer)。通常 [math]\displaystyle{ S=2^k,k\gt 0 }[/math] 或 [math]\displaystyle{ S=10^k,k\gt 0 }[/math] 。

定点小数

考虑机器数存在表示范围，也就是用一些位数代替不同的数值。其中存在一个特殊格式，小数点位置固定在最高数值位左侧（也就是在数值位之前，符号位之后），则这个数的真值总是一个没有整数部分的纯小数，称为定点小数或定点纯小数。

广义定点小数

其他情况， [math]\displaystyle{ S }[/math] 不是整数或者 [math]\displaystyle{ S\lt 1 }[/math] 时，称为（广义的）定点小数(fixed-point decimal)。通常 [math]\displaystyle{ S=2^k,k\in\mathbb{Z} }[/math] 或 [math]\displaystyle{ S=10^k,k\in\mathbb{Z} }[/math] 。

Q 格式

考虑全体表示范围，一般约定定点数表示时小数点左右侧分别的位数，这种表达称为 Q 格式。

数的内部表示
十进制数的二进制编码	BCD 、 Gray 码、奇偶校验码、字符表示
整数的机器数	定点整数	无符号定点整数
整数的机器数	定点整数	有符号定点整数（原码、反码、补码、移码）
小数的机器数	定点小数、浮点数（IEEE 754）

定义

定点整数

广义定点整数

定点小数

广义定点小数

Q 格式

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