消去律

可消去性(cancellativity)指某集合上的一个二元运算，两元素均和某元素运算结果相同意味着两元素相同。

定义

对集合 [math]\displaystyle{ X }[/math] 上的二元运算 [math]\displaystyle{ \bullet }[/math] ：

若 [math]\displaystyle{ (\forall a, b, c \in X) (a \bullet b = a \bullet c \rightarrow b = c) }[/math]，称运算 [math]\displaystyle{ \bullet }[/math] 左可消去([math]\displaystyle{ \bullet }[/math] is left-cancellative)，运算 [math]\displaystyle{ \bullet }[/math] 有左可消去性(left-cancellativity)，及运算 [math]\displaystyle{ \bullet }[/math] 满足左消去律(left-cancellation property)；
若 [math]\displaystyle{ (\forall a, b, c \in X) (b \bullet a = c \bullet a \rightarrow b = c) }[/math]，称运算 [math]\displaystyle{ \bullet }[/math] 右可消去([math]\displaystyle{ \bullet }[/math] is right-cancellative)，运算 [math]\displaystyle{ \bullet }[/math] 有右可消去性(right-cancellativity)，及运算 [math]\displaystyle{ \bullet }[/math] 满足右消去律(right-cancellation property)。
若 [math]\displaystyle{ \bullet }[/math] 既有左可消去性又有右可消去性，称运算 [math]\displaystyle{ \bullet }[/math] 可消去([math]\displaystyle{ \bullet }[/math] is (two-sided) cancellative)，运算 [math]\displaystyle{ \bullet }[/math] 有可消去性(cancellativity)，及运算 [math]\displaystyle{ \bullet }[/math] 满足消去律(camncellation property over / with respect to [math]\displaystyle{ \circ }[/math])。

注：这一定义中，若运算 [math]\displaystyle{ \bullet }[/math] 可交换，则不需要区分左可消去和右可消去。